例1 先观察,再通过计算比较大小。
$ \frac{1}{2} × \frac{1}{3} ◯ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3} × \frac{1}{4} ◯ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4} × \frac{1}{5} ◯ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
$ \frac{1}{5} × \frac{1}{6} ◯ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $
(1) 根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：
(2) 计算：$ \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} 。$
分析：通过计算可知,每组中两道算式的结果相等。(1) 通过观察可以发现上面算式的特点：两个分数的分子都是1,分母是相邻的两个非零自然数,这样的两个分数的积等于它们的差。符合这一特点的算式有无数道,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} ；$(2) 根据(1)中发现的规律,我们可以把算式中的每个加数看作两个分数的积,然后写成两个分数的差的形式,再将一些分数通过互相抵消,从而使计算简便,比如$ \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} 。$
解答：= = = =
(1) 答案不唯一,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} (2) \begin{aligned} & \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} \\ = & \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} × \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{12}{25} \end{aligned} $
$ \frac{1}{2} × \frac{1}{3} ◯ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3} × \frac{1}{4} ◯ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4} × \frac{1}{5} ◯ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
$ \frac{1}{5} × \frac{1}{6} ◯ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $
(1) 根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：
$\frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
；(2) 计算：$ \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} 。$
分析：通过计算可知,每组中两道算式的结果相等。(1) 通过观察可以发现上面算式的特点：两个分数的分子都是1,分母是相邻的两个非零自然数,这样的两个分数的积等于它们的差。符合这一特点的算式有无数道,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} ；$(2) 根据(1)中发现的规律,我们可以把算式中的每个加数看作两个分数的积,然后写成两个分数的差的形式,再将一些分数通过互相抵消,从而使计算简便,比如$ \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} 。$
解答：= = = =
(1) 答案不唯一,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} (2) \begin{aligned} & \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} \\ = & \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} × \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{12}{25} \end{aligned} $
答案：解析：
本题考查分数乘法的规律。
(1) 通过观察给出的算式，可以发现一个规律：两个分数的分子都是1，分母是相邻的两个非零自然数，这样的两个分数的积等于它们的差。根据这个规律，可以写出无数道符合条件的算式。
(2) 根据(1)中发现的规律，将每个加数看作两个分数的积，然后写成两个分数的差的形式，再进行计算。
答案：
(1) 答案不唯一，如：$\frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
(2)
$\;\;\;\;\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + \ldots + \frac{1}{49 × 50}$
$=\frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} × \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{50}$
$= \frac{25}{50} - \frac{1}{50}$
$= \frac{24}{50}$
$= \frac{12}{25}$
本题考查分数乘法的规律。
(1) 通过观察给出的算式，可以发现一个规律：两个分数的分子都是1，分母是相邻的两个非零自然数，这样的两个分数的积等于它们的差。根据这个规律，可以写出无数道符合条件的算式。
(2) 根据(1)中发现的规律，将每个加数看作两个分数的积，然后写成两个分数的差的形式，再进行计算。
答案：
(1) 答案不唯一，如：$\frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
(2)
$\;\;\;\;\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + \ldots + \frac{1}{49 × 50}$
$=\frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} × \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{50}$
$= \frac{25}{50} - \frac{1}{50}$
$= \frac{24}{50}$
$= \frac{12}{25}$
$1. $计算：$ \frac{1}{2000 × 2001} + \frac{1}{2001 × 2002} + … + \frac{1}{2024 × 2025} + \frac{1}{2025 × 2026} + \frac{1}{2026} 。$
答案：$\frac{1}{2000×2001}+\frac{1}{2001×2002}+\cdots+\frac{1}{2024×2025}+\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{2026}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+\cdots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}+\frac{1}{2026}=\frac{1}{2000}$
提示：$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$($a$是大于0的自然数)。
提示：$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$($a$是大于0的自然数)。
$2. $计算：$ \frac{1000}{1 × 2} + \frac{1000}{2 × 3} + \frac{1000}{3 × 4} + … + \frac{1000}{2025 × 2026} 。$
答案：$\frac{1000}{1×2}+\frac{1000}{2×3}+\frac{1000}{3×4}+\cdots+\frac{1000}{2025×2026}$
$=(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2025×2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2026})×1000=\frac{2025}{2026}×1000$
$=\frac{2025000}{2026}=\frac{1012500}{1013}$ 提示：先将分子1000提取出来，再将$\frac{1}{a×(a+1)}$($a$为大于0的自然数)裂项为$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$进行计算。
$=(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2025×2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2026})×1000=\frac{2025}{2026}×1000$
$=\frac{2025000}{2026}=\frac{1012500}{1013}$ 提示：先将分子1000提取出来，再将$\frac{1}{a×(a+1)}$($a$为大于0的自然数)裂项为$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$进行计算。
$3. $计算：$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + … + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} 。$
答案：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$
$=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\cdots+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
提示：观察分数的分母，可以改写为相邻两个自然数的乘积，改写后再裂项。
$=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\cdots+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
提示：观察分数的分母，可以改写为相邻两个自然数的乘积，改写后再裂项。
$4. $计算：$ \frac{1}{3 × 5} + \frac{1}{5 × 7} + \frac{1}{7 × 9} + … + \frac{1}{97 × 99} 。$
答案：$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\cdots+\frac{1}{97×99}$
$=(\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\frac{2}{7×9}+\cdots+\frac{2}{97×99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}=\frac{32}{99}×\frac{1}{2}=\frac{16}{99}$
提示：每个分数的分母都可以表示为连续两个奇数相乘的形式。因为$\frac{2}{a×(a+2)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}$($a$为非0自然数)，所以将原式中的每个分数都乘2，让分子变成2，最后再将总和乘$\frac{1}{2}$，不改变积的大小。
$=(\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\frac{2}{7×9}+\cdots+\frac{2}{97×99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}=\frac{32}{99}×\frac{1}{2}=\frac{16}{99}$
提示：每个分数的分母都可以表示为连续两个奇数相乘的形式。因为$\frac{2}{a×(a+2)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}$($a$为非0自然数)，所以将原式中的每个分数都乘2，让分子变成2，最后再将总和乘$\frac{1}{2}$，不改变积的大小。