例2 先观察,再通过计算比较大小。
$ \frac{4}{1 × 3} ◯ \frac{1}{1} + \frac{1}{3} $
$ \frac{8}{3 × 5} ◯ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} $
$ \frac{12}{5 × 7} ◯ \frac{1}{5} + \frac{1}{7} $
$ \frac{16}{7 × 9} ◯ \frac{1}{7} + \frac{1}{9} $
(1) 根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：
(2) 计算：$ \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + \frac{20}{9 × 11} - \frac{24}{11 × 13} 。$
分析：通过计算可知,每组中两道算式的结果相等。(1) 通过观察可以发现上面算式的特点：分数的分母是两个数相乘的积,分子是这两个数相加的和,这样的分数值的大小等于分子是1,分母分别是这两个数的两个分数之和。符合这一特点的算式有无数道,如：$ \frac{19}{8 × 11} = \frac{1}{8} + \frac{1}{11} ；$(2) 根据(1)中发现的规律,我们可以把算式中的每个分数看作两个分数的和,再通过去括号将一些分数互相抵消,从而使计算简便。
解答：= = = =
$ \frac{4}{1 × 3} ◯ \frac{1}{1} + \frac{1}{3} $
$ \frac{8}{3 × 5} ◯ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} $
$ \frac{12}{5 × 7} ◯ \frac{1}{5} + \frac{1}{7} $
$ \frac{16}{7 × 9} ◯ \frac{1}{7} + \frac{1}{9} $
(1) 根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：
$\frac{28}{13×15}=\frac{1}{13}+\frac{1}{15}$（答案不唯一）
；(2) 计算：$ \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + \frac{20}{9 × 11} - \frac{24}{11 × 13} 。$
分析：通过计算可知,每组中两道算式的结果相等。(1) 通过观察可以发现上面算式的特点：分数的分母是两个数相乘的积,分子是这两个数相加的和,这样的分数值的大小等于分子是1,分母分别是这两个数的两个分数之和。符合这一特点的算式有无数道,如：$ \frac{19}{8 × 11} = \frac{1}{8} + \frac{1}{11} ；$(2) 根据(1)中发现的规律,我们可以把算式中的每个分数看作两个分数的和,再通过去括号将一些分数互相抵消,从而使计算简便。
解答：= = = =
(2) $\begin{aligned} & \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + \frac{20}{9 × 11} - \frac{24}{11 × 13} \\ = & \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) - \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{11} \right) - \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) \\ = & \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \\ = & 1 - \frac{1}{13} \\ = & \frac{12}{13} \end{aligned}$
答案：(1) $\frac{28}{13×15}=\frac{1}{13}+\frac{1}{15}$（答案不唯一）
(2) $\begin{aligned} & \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + \frac{20}{9 × 11} - \frac{24}{11 × 13} \\ = & \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) - \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{11} \right) - \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) \\ = & \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \\ = & 1 - \frac{1}{13} \\ = & \frac{12}{13} \end{aligned}$
(2) $\begin{aligned} & \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + \frac{20}{9 × 11} - \frac{24}{11 × 13} \\ = & \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) - \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{11} \right) - \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) \\ = & \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \\ = & 1 - \frac{1}{13} \\ = & \frac{12}{13} \end{aligned}$
$5. $计算：$ 1 \frac{1}{2} - \frac{5}{6} + \frac{7}{12} - \frac{9}{20} + \frac{11}{30} - \frac{13}{42} + \frac{15}{56} 。$
答案：$1\frac{1}{2}-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56}$
$=(1+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$
$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$
提示：把算式中的每个分数看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$=(1+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$
$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$
提示：把算式中的每个分数看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$6. $计算：$ \frac{49}{12} - \frac{63}{20} + \frac{77}{30} - \frac{91}{42} + \frac{105}{56} 。$
答案：$\frac{49}{12}-\frac{63}{20}+\frac{77}{30}-\frac{91}{42}+\frac{105}{56}$
$=7×(\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56})$
$=7×[(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})]$
$=7×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$
$=7×(\frac{1}{3}+\frac{1}{8})=7×\frac{11}{24}=\frac{77}{24}$
提示：提取公因数7后的算式的每个分数可以看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$=7×(\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56})$
$=7×[(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})]$
$=7×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$
$=7×(\frac{1}{3}+\frac{1}{8})=7×\frac{11}{24}=\frac{77}{24}$
提示：提取公因数7后的算式的每个分数可以看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$7. $计算：$ \frac{20}{6} - \frac{28}{12} + \frac{36}{20} - \frac{44}{30} + \frac{52}{42} - \frac{60}{56} 。$
答案：$\frac{20}{6}-\frac{28}{12}+\frac{36}{20}-\frac{44}{30}+\frac{52}{42}-\frac{60}{56}$
$=(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56})×4$
$=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8})×4=(\frac{1}{2}-\frac{1}{8})×4=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}$
提示：提取公因数4后的算式的每个分数可以看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$=(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56})×4$
$=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8})×4=(\frac{1}{2}-\frac{1}{8})×4=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}$
提示：提取公因数4后的算式的每个分数可以看作两个分数的和，再通过去括号等将一些分数互相抵消，从而使计算简便。
$8. $计算：$ \frac{4}{1 × 3} - \frac{8}{3 × 5} + \frac{12}{5 × 7} - \frac{16}{7 × 9} + … + \frac{4052}{2025 × 2027} - \frac{4056}{2027 × 2029} 。$
答案：$\frac{4}{1×3}-\frac{8}{3×5}+\frac{12}{5×7}-\frac{16}{7×9}+\cdots+\frac{4052}{2025×2027}-\frac{4056}{2027×2029}$
$=(1+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})+\cdots+(\frac{1}{2025}+\frac{1}{2027})-(\frac{1}{2027}+\frac{1}{2029})$
$=1-\frac{1}{2029}$
$=\frac{2028}{2029}$
提示：利用裂项的方法，把每个分数拆分成两个分数的和，利用减法的性质去掉括号后，即可抵消，最后剩下1与最后一个分数的差。
$=(1+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})+\cdots+(\frac{1}{2025}+\frac{1}{2027})-(\frac{1}{2027}+\frac{1}{2029})$
$=1-\frac{1}{2029}$
$=\frac{2028}{2029}$
提示：利用裂项的方法，把每个分数拆分成两个分数的和，利用减法的性质去掉括号后，即可抵消，最后剩下1与最后一个分数的差。