8. (2024·崇川期末)甲、乙两人完成一项工作,甲先做$3$天,然后乙加入合作,完成剩下的工作,设工作总量为$1$,工作进度如下表所示.若乙单独完成这项工作,则需(
|天数|第$3$天|第$7$天|
|工作进度|$\frac{1}{5}$|$\frac{3}{5}$|
A.$35$天
B.$30$天
C.$15$天
D.$10$天
B
)|天数|第$3$天|第$7$天|
|工作进度|$\frac{1}{5}$|$\frac{3}{5}$|
A.$35$天
B.$30$天
C.$15$天
D.$10$天
答案：B
解析：
解：设甲每天完成的工作量为$x$，乙每天完成的工作量为$y$。
由题意，甲先做3天，工作进度为$\frac{1}{5}$，可得$3x = \frac{1}{5}$，解得$x=\frac{1}{15}$。
从第3天到第7天共$7 - 3=4$天，两人合作完成的工作量为$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$，则$4(x + y)=\frac{2}{5}$。
将$x = \frac{1}{15}$代入，得$4(\frac{1}{15}+y)=\frac{2}{5}$，解得$y=\frac{1}{30}$。
所以乙单独完成这项工作需$1÷\frac{1}{30}=30$天。
答案：B
由题意，甲先做3天，工作进度为$\frac{1}{5}$，可得$3x = \frac{1}{5}$，解得$x=\frac{1}{15}$。
从第3天到第7天共$7 - 3=4$天，两人合作完成的工作量为$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$，则$4(x + y)=\frac{2}{5}$。
将$x = \frac{1}{15}$代入，得$4(\frac{1}{15}+y)=\frac{2}{5}$，解得$y=\frac{1}{30}$。
所以乙单独完成这项工作需$1÷\frac{1}{30}=30$天。
答案：B
9. 甲、乙两人分别从相距$2000m的A,B$两地步行出发相向而行,两人速度保持不变.若两人同时出发,则他们$10min$之后相遇;若乙比甲先出发$4min$,则甲出发$8min$之后,甲、乙两人相遇. 甲的速度为(
A.$70m/min$
B.$80m/min$
C.$90m/min$
D.$100m/min$
D
)A.$70m/min$
B.$80m/min$
C.$90m/min$
D.$100m/min$
答案：D
解析：
解：设甲的速度为$x m/min$，乙的速度为$y m/min$。
由题意得：
$\begin{cases}10(x + y) = 2000 \\8x + (4 + 8)y = 2000\end{cases}$
化简第一个方程：$x + y = 200$，即$y = 200 - x$。
将$y = 200 - x$代入第二个方程：
$8x + 12(200 - x) = 2000$
$8x + 2400 - 12x = 2000$
$-4x = -400$
$x = 100$
答：甲的速度为$100m/min$，选D。
由题意得：
$\begin{cases}10(x + y) = 2000 \\8x + (4 + 8)y = 2000\end{cases}$
化简第一个方程：$x + y = 200$，即$y = 200 - x$。
将$y = 200 - x$代入第二个方程：
$8x + 12(200 - x) = 2000$
$8x + 2400 - 12x = 2000$
$-4x = -400$
$x = 100$
答：甲的速度为$100m/min$，选D。
10. 某商店卖出两双皮鞋,一双盈利$30\%$,另一双亏本$10\%$,两双共卖出$200$元. 若商店在这次销售中刚好不赚不亏,则亏本的那双皮鞋的进价是
150
元.答案：150
解析：
解：设亏本的那双皮鞋的进价是$x$元，盈利的那双皮鞋的进价是$y$元。
因为两双共卖出$200$元，且刚好不赚不亏，所以两双皮鞋的总进价等于总售价，即$x + y=200$。
盈利$30\%$的那双皮鞋售价为$(1 + 30\%)y=1.3y$，亏本$10\%$的那双皮鞋售价为$(1-10\%)x = 0.9x$，又因为两双售价之和为$200$元，所以$1.3y+0.9x = 200$。
联立方程组$\begin{cases}x + y=200\\1.3y+0.9x = 200\end{cases}$
由$x + y=200$得$y = 200 - x$，将其代入$1.3y+0.9x = 200$中：
$1.3(200 - x)+0.9x=200$
$260-1.3x + 0.9x=200$
$-0.4x=200 - 260$
$-0.4x=-60$
$x = 150$
答：亏本的那双皮鞋的进价是$150$元。
因为两双共卖出$200$元，且刚好不赚不亏，所以两双皮鞋的总进价等于总售价，即$x + y=200$。
盈利$30\%$的那双皮鞋售价为$(1 + 30\%)y=1.3y$，亏本$10\%$的那双皮鞋售价为$(1-10\%)x = 0.9x$，又因为两双售价之和为$200$元，所以$1.3y+0.9x = 200$。
联立方程组$\begin{cases}x + y=200\\1.3y+0.9x = 200\end{cases}$
由$x + y=200$得$y = 200 - x$，将其代入$1.3y+0.9x = 200$中：
$1.3(200 - x)+0.9x=200$
$260-1.3x + 0.9x=200$
$-0.4x=200 - 260$
$-0.4x=-60$
$x = 150$
答：亏本的那双皮鞋的进价是$150$元。
11. 某校七年级(5)班共有学生$49$人,其中男生比女生多$3$人. 综合实践活动课上,老师组织学生自己动手设计制作便携式垃圾盒,每名学生一节课能做盒身$10个或盒底29$个.
(1) 七年级(5)班男生和女生各有多少人?
(2) 原计划女生负责做盒身,男生负责做盒底,$1个盒身匹配2$个盒底,那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套,最后决定让男生去支援女生. 安排多少名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套?
(1) 七年级(5)班男生和女生各有多少人?
(2) 原计划女生负责做盒身,男生负责做盒底,$1个盒身匹配2$个盒底,那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套,最后决定让男生去支援女生. 安排多少名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套?
答案：(1) 设七年级(5)班男生有 $ x $ 人，则女生有 $ (49 - x) $ 人。根据题意，得 $ x - (49 - x) = 3 $，解得 $ x = 26 $。所以 $ 49 - x = 49 - 26 = 23 $。所以七年级(5)班男生有 26 人，女生有 23 人 (2) 设安排 $ y $ 名男生去支援女生。根据题意，得 $ 29(26 - y) = 2×10(23 + y) $，解得 $ y = 6 $。所以安排 6 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套
12. 如果关于$x的方程(m + 3)x = 6$有解,那么$m$的取值情况是(
A.$m ＞ -3$
B.$m = -3$
C.$m \neq -3$
D.任意有理数
C
)A.$m ＞ -3$
B.$m = -3$
C.$m \neq -3$
D.任意有理数
答案：C
解析：
解：关于$x$的方程$(m + 3)x = 6$，当$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$时，方程有唯一解$x = \frac{6}{m + 3}$；当$m + 3 = 0$，即$m = -3$时，方程左边为$0$，右边为$6$，$0 \neq 6$，方程无解。因此，方程有解时$m \neq -3$。
答案：C
答案：C
13. 已知方程$ax - 2 = x的解是x = 2$,则关于$x的方程a(x - 2) = 4a$的解为(
A.$x = 2$
B.$x = 4$
C.$x = 6$
D.$x = 8$
C
)A.$x = 2$
B.$x = 4$
C.$x = 6$
D.$x = 8$
答案：C
解析：
解：将$x = 2$代入方程$ax - 2 = x$，得：
$2a - 2 = 2$
$2a = 4$
$a = 2$
把$a = 2$代入方程$a(x - 2) = 4a$，得：
$2(x - 2) = 8$
$x - 2 = 4$
$x = 6$
C
$2a - 2 = 2$
$2a = 4$
$a = 2$
把$a = 2$代入方程$a(x - 2) = 4a$，得：
$2(x - 2) = 8$
$x - 2 = 4$
$x = 6$
C
14. 学校要制作一块广告牌,请来甲、乙两名工人,已知甲单独完成需$4$天,乙单独完成需$6$天,若先由乙做$1$天,剩下的由两人合作完成,共得到报酬$900$元. 若按各人的工作量计算报酬,则甲、乙两人各能获得报酬(
A.$360$元、$540$元
B.$450$元、$450$元
C.$300$元、$600$元
D.$540$元、$360$元
B
)A.$360$元、$540$元
B.$450$元、$450$元
C.$300$元、$600$元
D.$540$元、$360$元
答案：B
解析：
解：设总工作量为1，甲每天完成工作量为$\frac{1}{4}$，乙每天完成工作量为$\frac{1}{6}$。
设两人合作$x$天完成剩下的工作，依题意得：
$\frac{1}{6}(x + 1) + \frac{1}{4}x = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{1}{6} + \frac{x}{4} = 1$
$2x + 2 + 3x = 12$
$5x = 10$
$x = 2$
甲的工作量：$\frac{1}{4}×2 = \frac{1}{2}$
乙的工作量：$\frac{1}{6}×(2 + 1) = \frac{1}{2}$
甲获得报酬：$900×\frac{1}{2} = 450$（元）
乙获得报酬：$900×\frac{1}{2} = 450$（元）
答案：B
设两人合作$x$天完成剩下的工作，依题意得：
$\frac{1}{6}(x + 1) + \frac{1}{4}x = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{1}{6} + \frac{x}{4} = 1$
$2x + 2 + 3x = 12$
$5x = 10$
$x = 2$
甲的工作量：$\frac{1}{4}×2 = \frac{1}{2}$
乙的工作量：$\frac{1}{6}×(2 + 1) = \frac{1}{2}$
甲获得报酬：$900×\frac{1}{2} = 450$（元）
乙获得报酬：$900×\frac{1}{2} = 450$（元）
答案：B