1. 如图,M 是线段 AB 上一点,点 C 在线段 AM 上,点 D 在线段 BM 上. 点 C,D 分别从点 M,B 出发,分别以 1 cm/s,2 cm/s 的速度沿 BA 向左运动.
(1) 若 $ AB = 20 $ cm,当点 C,D 运动了 2 s 时,求 $ AC + MD $ 的长度；
(2) 当点 C,D 运动时,总有 $ MD = 2AC $,设 $ AM = n $ cm,求 AB 的长；
(3) 在(2)的条件下,N 是直线 AB 上一点,且 $ MN + BN = AN $,求 $ \frac{AB}{MN} $ 的值.
(1) 若 $ AB = 20 $ cm,当点 C,D 运动了 2 s 时,求 $ AC + MD $ 的长度；
(2) 当点 C,D 运动时,总有 $ MD = 2AC $,设 $ AM = n $ cm,求 AB 的长；
(3) 在(2)的条件下,N 是直线 AB 上一点,且 $ MN + BN = AN $,求 $ \frac{AB}{MN} $ 的值.
答案：1. (1) $ AC + MD = AB - MC - BD = 20 - 2 × 1 - 2 × 2 = 14(\text{cm}) $ (2) 设 $ BM = x \text{ cm} $，运动时间为 $ t \text{ s} $。由题意，得 $ x - 2t = 2(n - t) $，所以 $ x = 2n $。所以 $ AB = AM + BM = 3n \text{ cm} $ (3) 如图①，当点 $ N $ 在线段 $ BM $ 上时，设 $ MN = y \text{ cm} $。由题意，得 $ y + 2n - y = n + y $，解得 $ y = n $。所以 $ MN = n \text{ cm} $。因为 $ AB = 3n \text{ cm} $，所以 $ \frac{AB}{MN} = 3 $。如图②，当点 $ N $ 在线段 $ AB $ 的延长线上时，设 $ MN = z \text{ cm} $。由题意，得 $ z + z - 2n = n + z $，解得 $ z = 3n $。所以 $ MN = AB = 3n \text{ cm} $。所以 $ \frac{AB}{MN} = 1 $。综上所述，$ \frac{AB}{MN} $ 的值为 3 或 1
解析：
(1) 由题意，点 C 运动速度为 1 cm/s，运动 2 s，所以 $ MC = 1×2 = 2 \, \text{cm} $；点 D 运动速度为 2 cm/s，运动 2 s，所以 $ BD = 2×2 = 4 \, \text{cm} $。
因为 $ AB = 20 \, \text{cm} $，所以 $ AC + MD = AB - MC - BD = 20 - 2 - 4 = 14 \, \text{cm} $。
(2) 设 $ BM = x \, \text{cm} $，运动时间为 $ t \, \text{s} $。
点 C 从 M 出发，速度 1 cm/s，所以 $ MC = t \, \text{cm} $，则 $ AC = AM - MC = n - t \, \text{cm} $；
点 D 从 B 出发，速度 2 cm/s，所以 $ BD = 2t \, \text{cm} $，则 $ MD = BM - BD = x - 2t \, \text{cm} $。
由 $ MD = 2AC $，得 $ x - 2t = 2(n - t) $，化简得 $ x = 2n $。
所以 $ AB = AM + BM = n + 2n = 3n \, \text{cm} $。
(3) 由(2)知 $ AB = 3n \, \text{cm} $，$ BM = 2n \, \text{cm} $。
① 当 N 在线段 BM 上时，设 $ MN = y \, \text{cm} $，则 $ BN = BM - MN = 2n - y \, \text{cm} $，$ AN = AM + MN = n + y \, \text{cm} $。
由 $ MN + BN = AN $，得 $ y + (2n - y) = n + y $，解得 $ y = n $。
所以 $ MN = n \, \text{cm} $，$ \frac{AB}{MN} = \frac{3n}{n} = 3 $。
② 当 N 在 AB 延长线上时，设 $ MN = z \, \text{cm} $，则 $ BN = MN - BM = z - 2n \, \text{cm} $，$ AN = AM + MN = n + z \, \text{cm} $。
由 $ MN + BN = AN $，得 $ z + (z - 2n) = n + z $，解得 $ z = 3n $。
所以 $ MN = 3n \, \text{cm} $，$ \frac{AB}{MN} = \frac{3n}{3n} = 1 $。
综上所述，$ \frac{AB}{MN} $ 的值为 3 或 1。
答案
(1) $ 14 \, \text{cm} $
(2) $ 3n \, \text{cm} $
(3) 3 或 1
因为 $ AB = 20 \, \text{cm} $，所以 $ AC + MD = AB - MC - BD = 20 - 2 - 4 = 14 \, \text{cm} $。
(2) 设 $ BM = x \, \text{cm} $，运动时间为 $ t \, \text{s} $。
点 C 从 M 出发，速度 1 cm/s，所以 $ MC = t \, \text{cm} $，则 $ AC = AM - MC = n - t \, \text{cm} $；
点 D 从 B 出发，速度 2 cm/s，所以 $ BD = 2t \, \text{cm} $，则 $ MD = BM - BD = x - 2t \, \text{cm} $。
由 $ MD = 2AC $，得 $ x - 2t = 2(n - t) $，化简得 $ x = 2n $。
所以 $ AB = AM + BM = n + 2n = 3n \, \text{cm} $。
(3) 由(2)知 $ AB = 3n \, \text{cm} $，$ BM = 2n \, \text{cm} $。
① 当 N 在线段 BM 上时，设 $ MN = y \, \text{cm} $，则 $ BN = BM - MN = 2n - y \, \text{cm} $，$ AN = AM + MN = n + y \, \text{cm} $。
由 $ MN + BN = AN $，得 $ y + (2n - y) = n + y $，解得 $ y = n $。
所以 $ MN = n \, \text{cm} $，$ \frac{AB}{MN} = \frac{3n}{n} = 3 $。
② 当 N 在 AB 延长线上时，设 $ MN = z \, \text{cm} $，则 $ BN = MN - BM = z - 2n \, \text{cm} $，$ AN = AM + MN = n + z \, \text{cm} $。
由 $ MN + BN = AN $，得 $ z + (z - 2n) = n + z $，解得 $ z = 3n $。
所以 $ MN = 3n \, \text{cm} $，$ \frac{AB}{MN} = \frac{3n}{3n} = 1 $。
综上所述，$ \frac{AB}{MN} $ 的值为 3 或 1。
答案
(1) $ 14 \, \text{cm} $
(2) $ 3n \, \text{cm} $
(3) 3 或 1
2. 如图,C 是线段 AB 上一点,$ AB = 20 $ cm,$ BC = 8 $ cm,点 P 从点 A 出发,以 2 cm/s 的速度沿 AB 向右运动,终点为 B；点 Q 从点 B 出发,以 1 cm/s 的速度沿 BA 向左运动,终点为 A. 已知 P,Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动. 设点 P 的运动时间为 x s.
(1) $ AC = $
(2) 当 $ x = $
(3) 是否存在某一时刻,使得 C,P,Q 这三个点中,有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在,求出所有满足条件的 x 的值；若不存在,请说明理由.
(1) $ AC = $
12
cm.(2) 当 $ x = $
$\frac{20}{3}$
时,P,Q 两点重合.(3) 是否存在某一时刻,使得 C,P,Q 这三个点中,有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在,求出所有满足条件的 x 的值；若不存在,请说明理由.
存在 由题意知，$ AP = 2x \text{ cm} $，$ BQ = x \text{ cm} $。① 当 $ C $ 是线段 $ PQ $ 的中点时，得 $ 12 - 2x = 8 - x $，解得 $ x = 4 $；② 当 $ P $ 为线段 $ CQ $ 的中点时，得 $ 2x - 12 = \frac{1}{2}(8 - x) $，解得 $ x = \frac{32}{5} $；③ 当 $ Q $ 为线段 $ PC $ 的中点时，得 $ 2x + x - 20 = 8 - x $，解得 $ x = 7 $。综上所述，$ x $ 的值为 4 或 $ \frac{32}{5} $ 或 7
答案：2. (1) 12 (2) $ \frac{20}{3} $ (3) 存在 由题意知，$ AP = 2x \text{ cm} $，$ BQ = x \text{ cm} $。① 当 $ C $ 是线段 $ PQ $ 的中点时，得 $ 12 - 2x = 8 - x $，解得 $ x = 4 $；② 当 $ P $ 为线段 $ CQ $ 的中点时，得 $ 2x - 12 = \frac{1}{2}(8 - x) $，解得 $ x = \frac{32}{5} $；③ 当 $ Q $ 为线段 $ PC $ 的中点时，得 $ 2x + x - 20 = 8 - x $，解得 $ x = 7 $。综上所述，$ x $ 的值为 4 或 $ \frac{32}{5} $ 或 7