8. (2025·南通模拟)若$\vert m\vert = 2$,$\vert n\vert = 3$,且$\vert m + n\vert = m + n$,则$\frac{n}{m}$的值为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}或-\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}或-\frac{2}{3}$
C
)A.$\frac{3}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}或-\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}或-\frac{2}{3}$
答案：C
解析：
解：∵|m|=2，|n|=3，
∴m=±2，n=±3。
∵|m+n|=m+n，
∴m+n≥0。
情况1：m=2，n=3时，m+n=5≥0，此时$\frac{n}{m}=\frac{3}{2}$；
情况2：m=2，n=-3时，m+n=-1＜0，不符合；
情况3：m=-2，n=3时，m+n=1≥0，此时$\frac{n}{m}=-\frac{3}{2}$；
情况4：m=-2，n=-3时，m+n=-5＜0，不符合。
综上，$\frac{n}{m}$的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
答案：C
∴m=±2，n=±3。
∵|m+n|=m+n，
∴m+n≥0。
情况1：m=2，n=3时，m+n=5≥0，此时$\frac{n}{m}=\frac{3}{2}$；
情况2：m=2，n=-3时，m+n=-1＜0，不符合；
情况3：m=-2，n=3时，m+n=1≥0，此时$\frac{n}{m}=-\frac{3}{2}$；
情况4：m=-2，n=-3时，m+n=-5＜0，不符合。
综上，$\frac{n}{m}$的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
答案：C
9. 若被除数是$-5\frac{1}{2}$,商是$-\frac{11}{12}$,则除数是
6
.答案：6
解析：
解：设除数为$x$，根据被除数$÷$除数$=$商，可得：
$-5\frac{1}{2}÷ x=-\frac{11}{12}$
将$-5\frac{1}{2}$化为假分数：$-5\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$
则方程为：$-\frac{11}{2}÷ x=-\frac{11}{12}$
$x=-\frac{11}{2}÷(-\frac{11}{12})$
$x=-\frac{11}{2}×(-\frac{12}{11})$
$x=6$
6
$-5\frac{1}{2}÷ x=-\frac{11}{12}$
将$-5\frac{1}{2}$化为假分数：$-5\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$
则方程为：$-\frac{11}{2}÷ x=-\frac{11}{12}$
$x=-\frac{11}{2}÷(-\frac{11}{12})$
$x=-\frac{11}{2}×(-\frac{12}{11})$
$x=6$
6
10. 已知$\vert a\vert = 6$,$\vert b\vert = \frac{3}{2}$,且$ab ＜ 0$,则$\frac{a}{b} = $
$-4$
.答案：$-4$
解析：
解：因为$\vert a\vert = 6$，所以$a = \pm 6$；
因为$\vert b\vert = \frac{3}{2}$，所以$b = \pm \frac{3}{2}$。
又因为$ab ＜ 0$，所以$a$，$b$异号。
当$a = 6$时，$b = -\frac{3}{2}$，则$\frac{a}{b} = \frac{6}{-\frac{3}{2}} = 6×(-\frac{2}{3}) = -4$；
当$a = -6$时，$b = \frac{3}{2}$，则$\frac{a}{b} = \frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6×\frac{2}{3} = -4$。
综上，$\frac{a}{b} = -4$。
因为$\vert b\vert = \frac{3}{2}$，所以$b = \pm \frac{3}{2}$。
又因为$ab ＜ 0$，所以$a$，$b$异号。
当$a = 6$时，$b = -\frac{3}{2}$，则$\frac{a}{b} = \frac{6}{-\frac{3}{2}} = 6×(-\frac{2}{3}) = -4$；
当$a = -6$时，$b = \frac{3}{2}$，则$\frac{a}{b} = \frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6×\frac{2}{3} = -4$。
综上，$\frac{a}{b} = -4$。
11. (分类讨论思想)若有理数$a\neq 0$,$b\neq 0$,则$\frac{\vert a\vert}{a} + \frac{b}{\vert b\vert} =$
$-2$或$0$或$2$
.答案：$-2$或0或2 解析:当$a,b$同为正数时,$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$;当$a,b$同为负数时,$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$;当$a,b$异号时,不妨设$a＜0,b＞0$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=-1+1=0$.
解析：
解：
当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = 1 + 1 = 2$；
当 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = -1 + (-1) = -2$；
当 $a ＞ 0$，$b ＜ 0$ 或 $a ＜ 0$，$b ＞ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = 1 + (-1) = 0$ 或 $-1 + 1 = 0$。
综上，结果为 $-2$ 或 $0$ 或 $2$。
答案：$-2$ 或 $0$ 或 $2$
当 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = 1 + 1 = 2$；
当 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = -1 + (-1) = -2$；
当 $a ＞ 0$，$b ＜ 0$ 或 $a ＜ 0$，$b ＞ 0$ 时，$\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} = 1 + (-1) = 0$ 或 $-1 + 1 = 0$。
综上，结果为 $-2$ 或 $0$ 或 $2$。
答案：$-2$ 或 $0$ 或 $2$
12. 计算：
(1) $(-72\frac{5}{9})÷ 9$；
(2) $-4.5÷ \frac{5}{8}× (-3\frac{3}{4})$；
(3) $(-81)× (-\frac{4}{9})÷ (-2\frac{1}{4})÷ 6$；
(4) $(-7.5)× (-2)÷ (-\frac{1}{3})÷ (-5)$.
(1) $(-72\frac{5}{9})÷ 9$；
(2) $-4.5÷ \frac{5}{8}× (-3\frac{3}{4})$；
(3) $(-81)× (-\frac{4}{9})÷ (-2\frac{1}{4})÷ 6$；
(4) $(-7.5)× (-2)÷ (-\frac{1}{3})÷ (-5)$.
答案：(1) $-8\frac{5}{81}$ (2) 27 (3) $-\frac{8}{3}$ (4) 9
解析：
(1) $(-72\frac{5}{9})÷9$
$=(-72-\frac{5}{9})×\frac{1}{9}$
$=-72×\frac{1}{9}-\frac{5}{9}×\frac{1}{9}$
$=-8-\frac{5}{81}$
$=-8\frac{5}{81}$
(2) $-4.5÷\frac{5}{8}×(-3\frac{3}{4})$
$=-\frac{9}{2}×\frac{8}{5}×(-\frac{15}{4})$
$=(-\frac{9}{2}×\frac{8}{5})×(-\frac{15}{4})$
$=(-\frac{36}{5})×(-\frac{15}{4})$
$=27$
(3) $(-81)×(-\frac{4}{9})÷(-2\frac{1}{4})÷6$
$=(-81)×(-\frac{4}{9})÷(-\frac{9}{4})×\frac{1}{6}$
$=36×(-\frac{4}{9})×\frac{1}{6}$
$=(-16)×\frac{1}{6}$
$=-\frac{8}{3}$
(4) $(-7.5)×(-2)÷(-\frac{1}{3})÷(-5)$
$=15×(-3)×(-\frac{1}{5})$
$=(-45)×(-\frac{1}{5})$
$=9$
$=(-72-\frac{5}{9})×\frac{1}{9}$
$=-72×\frac{1}{9}-\frac{5}{9}×\frac{1}{9}$
$=-8-\frac{5}{81}$
$=-8\frac{5}{81}$
(2) $-4.5÷\frac{5}{8}×(-3\frac{3}{4})$
$=-\frac{9}{2}×\frac{8}{5}×(-\frac{15}{4})$
$=(-\frac{9}{2}×\frac{8}{5})×(-\frac{15}{4})$
$=(-\frac{36}{5})×(-\frac{15}{4})$
$=27$
(3) $(-81)×(-\frac{4}{9})÷(-2\frac{1}{4})÷6$
$=(-81)×(-\frac{4}{9})÷(-\frac{9}{4})×\frac{1}{6}$
$=36×(-\frac{4}{9})×\frac{1}{6}$
$=(-16)×\frac{1}{6}$
$=-\frac{8}{3}$
(4) $(-7.5)×(-2)÷(-\frac{1}{3})÷(-5)$
$=15×(-3)×(-\frac{1}{5})$
$=(-45)×(-\frac{1}{5})$
$=9$
13. (新考法·新定义题)规定运算“$\triangle$”：$a\triangle b = (-\frac{1}{a})÷ \frac{b}{4}$,如$2\triangle 3 = (-\frac{1}{2})÷ \frac{3}{4} = -\frac{2}{3}$. 求$(\frac{1}{4}\triangle 7)\triangle 14$的值.
答案：由题意,得$(\frac{1}{4}\triangle7)\triangle14=(-4÷\frac{7}{4})\triangle14=(-\frac{16}{7})\triangle14=\frac{7}{16}÷\frac{14}{4}=\frac{1}{8}$
解析：
解：由题意，得
$\begin{aligned}\frac{1}{4}\triangle7&=\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)÷\frac{7}{4}\\&=-4÷\frac{7}{4}\\&=-4×\frac{4}{7}\\&=-\frac{16}{7}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left(-\frac{16}{7}\right)\triangle14&=\left(-\frac{1}{-\frac{16}{7}}\right)÷\frac{14}{4}\\&=\frac{7}{16}÷\frac{7}{2}\\&=\frac{7}{16}×\frac{2}{7}\\&=\frac{1}{8}\end{aligned}$
故$(\frac{1}{4}\triangle7)\triangle14$的值为$\frac{1}{8}$。
$\begin{aligned}\frac{1}{4}\triangle7&=\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)÷\frac{7}{4}\\&=-4÷\frac{7}{4}\\&=-4×\frac{4}{7}\\&=-\frac{16}{7}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left(-\frac{16}{7}\right)\triangle14&=\left(-\frac{1}{-\frac{16}{7}}\right)÷\frac{14}{4}\\&=\frac{7}{16}÷\frac{7}{2}\\&=\frac{7}{16}×\frac{2}{7}\\&=\frac{1}{8}\end{aligned}$
故$(\frac{1}{4}\triangle7)\triangle14$的值为$\frac{1}{8}$。
14. 若$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,且$\frac{a}{b} ＞ 1$,则$a ＞ b$；若$a ＜ 0$,$b ＜ 0$,且$\frac{a}{b} ＞ 1$,则$a ＜ b$. 以上这种比较大小的方法称为作商比较法. 试利用作商比较法比较$-\frac{15}{17}与-\frac{17}{19}$的大小.
答案：因为$-\frac{15}{17}＜0,-\frac{17}{19}＜0$,且$-\frac{15}{17}÷(-\frac{17}{19})=\frac{15}{17}×\frac{19}{17}=\frac{285}{289}＜1$,所以$-\frac{15}{17}＞-\frac{17}{19}$