1. 有一列数$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$,其中$a_{1}= -1,a_{2}= \frac {1}{1-a_{1}},a_{3}= \frac {1}{1-a_{2}},... ,a_{n}= \frac {1}{1-a_{n-1}}$,则$a_{1}×a_{2}×a_{3}×... ×a_{2024}×a_{2025}$的结果为(
A.-1
B.$\frac {1}{2}$
C.2022
D.-2022
A
)A.-1
B.$\frac {1}{2}$
C.2022
D.-2022
答案：A 解析：因为 $ a_{1} = - 1 $，所以 $ a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}} = \frac{1}{2} $，$ a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}} = 2 $，$ a_{4} = \frac{1}{1 - a_{3}} = - 1 $，…．所以每三个数为一组循环．因为易得 $ a_{1}a_{2}a_{3} = - 1 $，所以 $ a_{1} × a_{2} × a_{3} × \cdots × a_{2024} × a_{2025} = (a_{1}a_{2}a_{3})^{675} = ( - 1)^{675} = - 1 $．
2. 观察下面的变化规律：$\frac {2}{1×3}= 1-\frac {1}{3},\frac {2}{3×5}= \frac {1}{3}-\frac {1}{5},\frac {2}{5×7}= \frac {1}{5}-\frac {1}{7},\frac {2}{7×9}= \frac {1}{7}-\frac {1}{9},...$。根据上面的规律计算：$\frac {2}{1×3}+\frac {2}{3×5}+\frac {2}{5×7}+... +\frac {2}{2023×2025}= $
$\frac{2024}{2025}$
。答案：$\frac{2024}{2025}$
解析：
解：根据规律可得：
$\begin{aligned}&\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\cdots+\frac{2}{2023×2025}\\=&\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2023} - \frac{1}{2025}\right)\\=&1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2025}\\=&1 - \frac{1}{2025}\\=&\frac{2024}{2025}\end{aligned}$
$\frac{2024}{2025}$
$\begin{aligned}&\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\cdots+\frac{2}{2023×2025}\\=&\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2023} - \frac{1}{2025}\right)\\=&1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2025}\\=&1 - \frac{1}{2025}\\=&\frac{2024}{2025}\end{aligned}$
$\frac{2024}{2025}$
3. 有一数值转换器,原理如图所示。若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,…,则第2026次输出的结果是(
A.8
B.4
C.2
D.1
D
)A.8
B.4
C.2
D.1
答案：D 解析：若开始输入 $ x $ 的值是 5，可发现第一次输出的结果是 8，第二次输出的结果是 4，第三次输出的结果是 2，第四次输出的结果是 1，第五次输出的结果是 4，第六次输出的结果是 2，第七次输出的结果是 1，第八次输出的结果是 4，第九次输出的结果是 2，第十次输出的结果是 1，…，故从第二次开始，每 3 次一循环．因为 $ (2026 - 1) ÷ 3 = 675 $，所以第 2026 次输出的结果是 1．
4. 如图,取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,剩下两段,这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段,这称为第二阶段……将这样的操作重复下去,那么经过第十阶段后,剩下线段的长度之和为(
A.$1-\frac {1}{3^{11}}$
B.$\frac {2^{11}}{3^{11}}$
C.$1-\frac {1}{3^{10}}$
D.$\frac {2^{10}}{3^{10}}$
D
)A.$1-\frac {1}{3^{11}}$
B.$\frac {2^{11}}{3^{11}}$
C.$1-\frac {1}{3^{10}}$
D.$\frac {2^{10}}{3^{10}}$
答案：D
解析：
解：第一阶段后剩下线段长度之和为$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$；
第二阶段后剩下线段长度之和为$\frac{2}{3} × (1 - \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2$；
第三阶段后剩下线段长度之和为$(\frac{2}{3})^2 × (1 - \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^3$；
……
经过第十阶段后，剩下线段的长度之和为$(\frac{2}{3})^{10} = \frac{2^{10}}{3^{10}}$。
答案：D
第二阶段后剩下线段长度之和为$\frac{2}{3} × (1 - \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2$；
第三阶段后剩下线段长度之和为$(\frac{2}{3})^2 × (1 - \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^3$；
……
经过第十阶段后，剩下线段的长度之和为$(\frac{2}{3})^{10} = \frac{2^{10}}{3^{10}}$。
答案：D
5. 如图,图形中的三个数之间均有相同的规律。根据此规律可知,图形中n的值是
2499
。答案：2499
解析：
观察前三个图形：
第一个图形：$3$，$4$，$15$，其中$15 = 3×5 = 3×(4 + 1)$；
第二个图形：$5$，$6$，$35$，其中$35 = 5×7 = 5×(6 + 1)$；
第三个图形：$7$，$8$，$63$，其中$63 = 7×9 = 7×(8 + 1)$。
规律为：上面的数×（下面左边的数 + 1）= 下面右边的数，且下面左边的数比上面的数大$1$。
对于最后一个图形，上面的数是$49$，则下面左边的数$m = 49 + 1 = 50$。
所以$n = 49×(50 + 1) = 49×51 = 2499$。
2499
第一个图形：$3$，$4$，$15$，其中$15 = 3×5 = 3×(4 + 1)$；
第二个图形：$5$，$6$，$35$，其中$35 = 5×7 = 5×(6 + 1)$；
第三个图形：$7$，$8$，$63$，其中$63 = 7×9 = 7×(8 + 1)$。
规律为：上面的数×（下面左边的数 + 1）= 下面右边的数，且下面左边的数比上面的数大$1$。
对于最后一个图形，上面的数是$49$，则下面左边的数$m = 49 + 1 = 50$。
所以$n = 49×(50 + 1) = 49×51 = 2499$。
2499
6. 我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”。请观察图中数的排列规律,则$a+b+c$的值为______
41
。答案：41
解析：
解：观察杨辉三角规律，每行两端数字为1，中间数字等于上一行相邻两数字之和。
第七行：1，5，10，10，5，1
第八行第一个数为1，
$a = 1 + 5 = 6$，
$b = 5 + 10 = 15$，
$c = 10 + 10 = 20$，
$a + b + c = 6 + 15 + 20 = 41$
答案：41
第七行：1，5，10，10，5，1
第八行第一个数为1，
$a = 1 + 5 = 6$，
$b = 5 + 10 = 15$，
$c = 10 + 10 = 20$，
$a + b + c = 6 + 15 + 20 = 41$
答案：41