10. 设$A$,$B$,$C$均为多项式,小方同学在计算“$A - B$”时,误将符号抄错而计算成了“$A + B$”,得到的结果是$C$,其中$A= \frac{1}{2}x^{2}+x - 1$,$C = x^{2}+2x$,那么$A - B$的结果为 (
A.$x^{2}-2x$
B.$-2$
C.$x^{2}+2x$
D.$-2x$
B
)A.$x^{2}-2x$
B.$-2$
C.$x^{2}+2x$
D.$-2x$
答案：B
解析：
解：因为小方误将“$A - B$”算成“$A + B$”得到结果$C$，所以$A + B = C$。
已知$A = \frac{1}{2}x^{2} + x - 1$，$C = x^{2} + 2x$，则$B = C - A$。
$\begin{aligned}B&=(x^{2} + 2x) - (\frac{1}{2}x^{2} + x - 1)\\&=x^{2} + 2x - \frac{1}{2}x^{2} - x + 1\\&=(\frac{1}{2}x^{2}) + (x) + 1\end{aligned}$
所以$A - B$为：
$\begin{aligned}A - B&=(\frac{1}{2}x^{2} + x - 1) - (\frac{1}{2}x^{2} + x + 1)\\&=\frac{1}{2}x^{2} + x - 1 - \frac{1}{2}x^{2} - x - 1\\&=-2\end{aligned}$
答案：B
已知$A = \frac{1}{2}x^{2} + x - 1$，$C = x^{2} + 2x$，则$B = C - A$。
$\begin{aligned}B&=(x^{2} + 2x) - (\frac{1}{2}x^{2} + x - 1)\\&=x^{2} + 2x - \frac{1}{2}x^{2} - x + 1\\&=(\frac{1}{2}x^{2}) + (x) + 1\end{aligned}$
所以$A - B$为：
$\begin{aligned}A - B&=(\frac{1}{2}x^{2} + x - 1) - (\frac{1}{2}x^{2} + x + 1)\\&=\frac{1}{2}x^{2} + x - 1 - \frac{1}{2}x^{2} - x - 1\\&=-2\end{aligned}$
答案：B
11. 将四张正方形纸片①②③④按如图所示的方式放入长方形$ABCD$内(相邻纸片之间互不重叠也无缝隙),将未被四张正方形纸片覆盖的部分涂色,要求出图中两块涂色部分的周长之差,只需知道其中一个正方形的边长即可,则要知道边长的那个正方形的编号是 (
A.①
B.②
C.③
D.④
A
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案：11. A 解析：设正方形纸片①②③的边长分别为 $a,b,c$，则左上角涂色部分的周长为 $2(AB - c + AD - b)$，右下角涂色部分的周长为 $2(AB - a - b + AD - c)$，所以两块涂色部分的周长之差为 $2(AB - c + AD - b) - 2(AB - a - b + AD - c) = 2AB - 2c + 2AD - 2b - 2AB + 2a + 2b - 2AD + 2c = 2a$。所以要求出题图中两块涂色部分的周长之差，只需知道正方形①的边长即可。
12. 若单项式$-x^{3}y^{n + 5}$的系数是m,次数是9,则$m + n$的值为
0
.答案：12. 0
解析：
解：因为单项式$-x^{3}y^{n + 5}$的系数是$m$，所以$m=-1$。
因为该单项式的次数是$9$，而单项式的次数是所有字母的指数和，所以$3 + (n + 5)=9$，解得$n=1$。
则$m + n=-1 + 1=0$。
答案：$0$
因为该单项式的次数是$9$，而单项式的次数是所有字母的指数和，所以$3 + (n + 5)=9$，解得$n=1$。
则$m + n=-1 + 1=0$。
答案：$0$
13. 比$c$的3倍大5的数与比$c的\frac{1}{2}$小6的数的差为
$\frac{5}{2}c + 11$
(写成最简形式).答案：13. $\frac{5}{2}c + 11$
解析：
比$c$的3倍大5的数为$3c + 5$，比$c$的$\frac{1}{2}$小6的数为$\frac{1}{2}c - 6$，两者的差为：
$\begin{aligned}&(3c + 5) - (\frac{1}{2}c - 6)\\=&3c + 5 - \frac{1}{2}c + 6\\=&(3c - \frac{1}{2}c) + (5 + 6)\\=&\frac{5}{2}c + 11\end{aligned}$
$\frac{5}{2}c + 11$
$\begin{aligned}&(3c + 5) - (\frac{1}{2}c - 6)\\=&3c + 5 - \frac{1}{2}c + 6\\=&(3c - \frac{1}{2}c) + (5 + 6)\\=&\frac{5}{2}c + 11\end{aligned}$
$\frac{5}{2}c + 11$
14. 若多项式$x^{2}+mx + 3-(3x + 1 - nx^{2})$的值与x的取值无关,则$-2m + n$的值为
$-7$
.答案：14. $-7$
解析：
解：原式$=x^{2}+mx + 3 - 3x - 1 + nx^{2}$
$=(1 + n)x^{2}+(m - 3)x + 2$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以$x^{2}$和$x$的系数均为$0$。
即$\begin{cases}1 + n = 0\\m - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = -1\\m = 3\end{cases}$
则$-2m + n = -2×3 + (-1) = -6 - 1 = -7$
$-7$
$=(1 + n)x^{2}+(m - 3)x + 2$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以$x^{2}$和$x$的系数均为$0$。
即$\begin{cases}1 + n = 0\\m - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = -1\\m = 3\end{cases}$
则$-2m + n = -2×3 + (-1) = -6 - 1 = -7$
$-7$
15. 如图所示为一个运算程序的示意图,若开始输入$x$的值为625,则第2025次输出的结果为
5
.答案：15. 5 解析：当 $x = 625$ 时，$\frac{1}{5}x = 125$，即第 1 次输出的结果为 125；当 $x = 125$ 时，$\frac{1}{5}x = 25$，即第 2 次输出的结果为 25；当 $x = 25$ 时，$\frac{1}{5}x = 5$，即第 3 次输出的结果为 5；当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，即第 4 次输出的结果为 1；当 $x = 1$ 时，$x + 4 = 5$，即第 5 次输出的结果为 5；当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，即第 6 次输出的结果为 1……以此类推，输出的结果从第 3 次开始以 5,1 两个数为一组循环，所以 $(2025 - 2)÷2 = 1011……1$，即第 2025 次输出的结果为 5。
解析：
解：当 $x = 625$ 时，$\frac{1}{5}x = 125$，第1次输出125；
当 $x = 125$ 时，$\frac{1}{5}x = 25$，第2次输出25；
当 $x = 25$ 时，$\frac{1}{5}x = 5$，第3次输出5；
当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，第4次输出1；
当 $x = 1$ 时，$x + 4 = 5$，第5次输出5；
当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，第6次输出1；
……
从第3次开始，输出结果以5，1循环，周期为2。
$(2025 - 2) ÷ 2 = 1011\cdots\cdots1$，
故第2025次输出的结果为5。
答案：5
当 $x = 125$ 时，$\frac{1}{5}x = 25$，第2次输出25；
当 $x = 25$ 时，$\frac{1}{5}x = 5$，第3次输出5；
当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，第4次输出1；
当 $x = 1$ 时，$x + 4 = 5$，第5次输出5；
当 $x = 5$ 时，$\frac{1}{5}x = 1$，第6次输出1；
……
从第3次开始，输出结果以5，1循环，周期为2。
$(2025 - 2) ÷ 2 = 1011\cdots\cdots1$，
故第2025次输出的结果为5。
答案：5
16. 先化简,再求值：
(1)$3x^{2}-[5x - 3(2x - 1)+7x^{2}]$,其中$x = -\frac{1}{2}$；
(2)(2025·南通模拟)$2(2x^{2}-\frac{1}{2}xy - y^{2})-(4x^{2}+4xy - 2y^{2})$,其中$x = 3$,$y = -1$.
(1)$3x^{2}-[5x - 3(2x - 1)+7x^{2}]$,其中$x = -\frac{1}{2}$；
(2)(2025·南通模拟)$2(2x^{2}-\frac{1}{2}xy - y^{2})-(4x^{2}+4xy - 2y^{2})$,其中$x = 3$,$y = -1$.
答案：(1)解：原式$=3x^{2}-[5x - 6x + 3 + 7x^{2}]$
$=3x^{2}-(-x + 3 + 7x^{2})$
$=3x^{2}+x - 3 - 7x^{2}$
$=-4x^{2}+x - 3$
当$x=-\frac{1}{2}$时，
原式$=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2}) - 3$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3$
$=-1-\frac{1}{2}-3$
$=-4\frac{1}{2}$
(2)解：原式$=4x^{2}-xy - 2y^{2}-4x^{2}-4xy + 2y^{2}$
$=-5xy$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-5×3×(-1)=15$
$=3x^{2}-(-x + 3 + 7x^{2})$
$=3x^{2}+x - 3 - 7x^{2}$
$=-4x^{2}+x - 3$
当$x=-\frac{1}{2}$时，
原式$=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2}) - 3$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3$
$=-1-\frac{1}{2}-3$
$=-4\frac{1}{2}$
(2)解：原式$=4x^{2}-xy - 2y^{2}-4x^{2}-4xy + 2y^{2}$
$=-5xy$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-5×3×(-1)=15$
解析：
(1)解：原式$=3x^{2}-[5x - 6x + 3 + 7x^{2}]$
$=3x^{2}-(-x + 3 + 7x^{2})$
$=3x^{2}+x - 3 - 7x^{2}$
$=-4x^{2}+x - 3$
当$x=-\frac{1}{2}$时，
原式$=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2}) - 3$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3$
$=-1-\frac{1}{2}-3$
$=-4\frac{1}{2}$
(2)解：原式$=4x^{2}-xy - 2y^{2}-4x^{2}-4xy + 2y^{2}$
$=-5xy$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-5×3×(-1)=15$
$=3x^{2}-(-x + 3 + 7x^{2})$
$=3x^{2}+x - 3 - 7x^{2}$
$=-4x^{2}+x - 3$
当$x=-\frac{1}{2}$时，
原式$=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2}) - 3$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3$
$=-1-\frac{1}{2}-3$
$=-4\frac{1}{2}$
(2)解：原式$=4x^{2}-xy - 2y^{2}-4x^{2}-4xy + 2y^{2}$
$=-5xy$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-5×3×(-1)=15$
17. 已知关于$x$,$y的多项式(ax^{2}-3x + by - 1)-2(3 - y-\frac{3}{2}x + x^{2})$,且无论$x$,$y$取何值,该多项式的值都不变. 求多项式$4(a^{2}-ab + b^{2})-3(2a^{2}+b^{2}+5)$的值.
答案：$(ax^{2} - 3x + by - 1) - 2(3 - y - \frac{3}{2}x + x^{2}) = (a - 2)x^{2} + (b + 2)y - 7$。由题意，得 $a - 2 = 0$，$b + 2 = 0$。所以 $a = 2$，$b = -2$。所以 $4(a^{2} - ab + b^{2}) - 3(2a^{2} + b^{2} + 5) = -2a^{2} + b^{2} - 4ab - 15 = -2×2^{2} + (-2)^{2} - 4×2×(-2) - 15 = -3$
解析：
解：$(ax^{2}-3x + by - 1)-2(3 - y-\frac{3}{2}x + x^{2})$
$=ax^{2}-3x + by - 1 - 6 + 2y + 3x - 2x^{2}$
$=(a - 2)x^{2} + (b + 2)y - 7$
因为无论$x$，$y$取何值，该多项式的值都不变，所以含$x^{2}$和$y$的项的系数都为$0$，即：
$\begin{cases}a - 2 = 0 \\ b + 2 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = -2\end{cases}$
$4(a^{2}-ab + b^{2})-3(2a^{2}+b^{2}+5)$
$=4a^{2}-4ab + 4b^{2}-6a^{2}-3b^{2}-15$
$=-2a^{2}+b^{2}-4ab - 15$
将$a = 2$，$b = -2$代入上式：
$-2×2^{2}+(-2)^{2}-4×2×(-2)-15$
$=-2×4 + 4 + 16 - 15$
$=-8 + 4 + 16 - 15$
$=-3$
答：多项式的值为$-3$。
$=ax^{2}-3x + by - 1 - 6 + 2y + 3x - 2x^{2}$
$=(a - 2)x^{2} + (b + 2)y - 7$
因为无论$x$，$y$取何值，该多项式的值都不变，所以含$x^{2}$和$y$的项的系数都为$0$，即：
$\begin{cases}a - 2 = 0 \\ b + 2 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = -2\end{cases}$
$4(a^{2}-ab + b^{2})-3(2a^{2}+b^{2}+5)$
$=4a^{2}-4ab + 4b^{2}-6a^{2}-3b^{2}-15$
$=-2a^{2}+b^{2}-4ab - 15$
将$a = 2$，$b = -2$代入上式：
$-2×2^{2}+(-2)^{2}-4×2×(-2)-15$
$=-2×4 + 4 + 16 - 15$
$=-8 + 4 + 16 - 15$
$=-3$
答：多项式的值为$-3$。