20. (6分)画线段$AB = 2cm$,延长线段$AB至点C$,使$BC = \frac{1}{2}AB$,再反向延长线段$AC至点D$,使$AD = \frac{1}{2}AC$。
(1)画出图形；
(2)求线段$CD$的长。
(1)画出图形；
(2)求线段$CD$的长。
答案：
(1) 如图所示
(2) 由题意，得 $ BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2 = 1(\mathrm{cm}) $，$ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + BC) = \frac{1}{2} × (2 + 1) = 1.5(\mathrm{cm}) $，所以 $ CD = AD + AB + BC = 1.5 + 2 + 1 = 4.5(\mathrm{cm}) $
(1) 如图所示
(2) 由题意，得 $ BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2 = 1(\mathrm{cm}) $，$ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + BC) = \frac{1}{2} × (2 + 1) = 1.5(\mathrm{cm}) $，所以 $ CD = AD + AB + BC = 1.5 + 2 + 1 = 4.5(\mathrm{cm}) $
解析：
(1) 如图所示：
```
D A B C
|-------|-------|---|
1.5cm 2cm 1cm
```
(2) 解：由题意得
$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×2 = 1\ \text{cm}$
$AC = AB + BC = 2 + 1 = 3\ \text{cm}$
$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×3 = 1.5\ \text{cm}$
$CD = AD + AC = 1.5 + 3 = 4.5\ \text{cm}$
答：线段$CD$的长为$4.5\ \text{cm}$。
```
D A B C
|-------|-------|---|
1.5cm 2cm 1cm
```
(2) 解：由题意得
$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×2 = 1\ \text{cm}$
$AC = AB + BC = 2 + 1 = 3\ \text{cm}$
$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×3 = 1.5\ \text{cm}$
$CD = AD + AC = 1.5 + 3 = 4.5\ \text{cm}$
答：线段$CD$的长为$4.5\ \text{cm}$。
21. (8分)如图,$C为线段AB$上一点($AC ＞ BC$),点$D在线段BC$上,$BD = 2CD$,$E为AB$的中点。
(1)若$AD = 10$,$EC = 3CD$,求线段$CD$的长；
(2)若$AC = 2BC$,求$\frac{EC}{BD}$的值。
(1)若$AD = 10$,$EC = 3CD$,求线段$CD$的长；
(2)若$AC = 2BC$,求$\frac{EC}{BD}$的值。
答案：(1) 设 $ CD = x $，则 $ BD = 2CD = 2x $，$ BC = CD + BD = 3x $，$ EC = 3CD = 3x $。因为 $ AD = 10 $，所以 $ AB = 10 + 2x $。因为 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，所以 $ AE = EB = \frac{1}{2}AB = 5 + x $。所以 $ EC = EB - BC = 5 + x - 3x = 5 - 2x $。所以 $ 5 - 2x = 3x $，解得 $ x = 1 $。所以 $ CD = 1 $ (2) 设 $ CD = x $，则 $ BD = 2CD = 2x $，$ BC = CD + BD = 3x $，$ AC = 2BC = 6x $。所以 $ AB = BC + AC = 3x + 6x = 9x $。因为 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，所以 $ EB = \frac{1}{2}AB = 4.5x $。所以 $ EC = EB - BC = 4.5x - 3x = 1.5x $。所以 $ \frac{EC}{BD} = \frac{1.5x}{2x} = \frac{3}{4} $
解析：
(1)设$CD = x$，则$BD = 2CD = 2x$，$BC = CD + BD = 3x$，$EC = 3CD = 3x$。
因为$AD = 10$，所以$AB = AD + BD = 10 + 2x$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(10 + 2x)=5 + x$。
又因为$EC = EB - BC$，所以$3x=5 + x-3x$，解得$x = 1$。
所以$CD = 1$。
(2)设$CD = x$，则$BD = 2CD = 2x$，$BC = CD + BD = 3x$。
因为$AC = 2BC$，所以$AC = 2×3x=6x$，$AB=AC + BC=6x + 3x=9x$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9x = 4.5x$。
$EC=EB - BC=4.5x-3x = 1.5x$。
所以$\frac{EC}{BD}=\frac{1.5x}{2x}=\frac{3}{4}$。
因为$AD = 10$，所以$AB = AD + BD = 10 + 2x$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(10 + 2x)=5 + x$。
又因为$EC = EB - BC$，所以$3x=5 + x-3x$，解得$x = 1$。
所以$CD = 1$。
(2)设$CD = x$，则$BD = 2CD = 2x$，$BC = CD + BD = 3x$。
因为$AC = 2BC$，所以$AC = 2×3x=6x$，$AB=AC + BC=6x + 3x=9x$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9x = 4.5x$。
$EC=EB - BC=4.5x-3x = 1.5x$。
所以$\frac{EC}{BD}=\frac{1.5x}{2x}=\frac{3}{4}$。
22. (8分)如图,射线$OA表示的方向是北偏东15^{\circ}$,射线$OB表示的方向是北偏西40^{\circ}$。
(1)若$\angle AOC = \angle AOB$,则射线$OC$表示的方向是______；
(2)若射线$OD是射线OB$的反向延长线,则射线$OD$表示的方向是______；
(3)$\angle BOD可以看作是由OB绕点O按逆时针方向旋转至OD$形成的角,作$\angle BOD的平分线OE$,在(1)(2)的条件下,求$\angle COE$的度数。
(1)若$\angle AOC = \angle AOB$,则射线$OC$表示的方向是______；
(2)若射线$OD是射线OB$的反向延长线,则射线$OD$表示的方向是______；
(3)$\angle BOD可以看作是由OB绕点O按逆时针方向旋转至OD$形成的角,作$\angle BOD的平分线OE$,在(1)(2)的条件下,求$\angle COE$的度数。
答案：22. (1)北偏东$70^{\circ }$ (2)南偏东$40^{\circ }$ (3)因为射线 CD 是射线 OB 的反向延长线,所以$∠BOD = 180^{\circ }$。因为$∠AOC = ∠AOB + 40^{\circ }+15^{\circ } = 55^{\circ }$,所以$∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 55^{\circ }+55^{\circ } = 110^{\circ }$。所以$∠COD = 180^{\circ } - ∠BOC = 180^{\circ } - 110^{\circ } = 70^{\circ }$。又因为 OE 平分$∠BOD$,所以$∠BOE = \frac{1}{2}∠BOD = 90^{\circ }$。所以$∠COE = ∠COD + ∠BOE = 70^{\circ }+90^{\circ } = 160^{\circ }$