12. 设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.99]= 1,[-1.02]= -2,则[-3.4]-[-0.6]=
-3
.答案：-3 [解析][-3.4]-[-0.6]=-4-(-1)=-4+1=-3.
解析：
[-3.4]-[-0.6]=-4-(-1)=-3
13. 数学课上,老师给出如下问题：已知∠AOB= 90°,OC是平面内一条射线,OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,求∠DOE的度数.(本题涉及计算的角均不大于180°)小秦：以下是我的解答过程(部分空缺).
解：如图,∵OC是∠DOE内一条射线,∴∠DOE= ∠DOC+______.∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,∴∠DOC= ______,______= $\frac{1}{2}$∠BOC,∴∠DOE= $\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC).∵OC是∠AOB内一条射线,∴∠BOC+______= ∠AOB.∵∠AOB= 90°,∴∠AOC+∠BOC= 90°,∴∠DOE= ______.
(1)请补全小秦的解答过程；
(2)数学老师说：“小秦的解答并不完整,符合题目要求的图形还有两种.”请画出另两种图形,并解答.
解：如图,∵OC是∠DOE内一条射线,∴∠DOE= ∠DOC+______.∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,∴∠DOC= ______,______= $\frac{1}{2}$∠BOC,∴∠DOE= $\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC).∵OC是∠AOB内一条射线,∴∠BOC+______= ∠AOB.∵∠AOB= 90°,∴∠AOC+∠BOC= 90°,∴∠DOE= ______.
(1)请补全小秦的解答过程；
(2)数学老师说：“小秦的解答并不完整,符合题目要求的图形还有两种.”请画出另两种图形,并解答.
答案：
(1)∠COE $\frac{1}{2}$∠AOC ∠COE ∠AOC 45°
(2)延长AO至点M,延长BO至点N.如图
(1),当射线OC在∠AOB外部且在∠BOM内部时,
∵OC是∠DOE外一条射线,
∴∠DOE=∠DOC-∠COE.
∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC).
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC-∠BOC=∠AOB=90°,
∴∠DOE=45°.同理,当射线OC在∠AOB外部且在∠AON内部时,∠DOE=45°.
如图
(2),当射线OC在∠AOB外部且在∠MON内部时,
∵OC是∠DOE内一条射线，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE.
∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC).
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=270°,
∴∠DOE=135°.
(1)∠COE $\frac{1}{2}$∠AOC ∠COE ∠AOC 45°
(2)延长AO至点M,延长BO至点N.如图
(1),当射线OC在∠AOB外部且在∠BOM内部时,
∵OC是∠DOE外一条射线,
∴∠DOE=∠DOC-∠COE.
∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC).
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC-∠BOC=∠AOB=90°,
∴∠DOE=45°.同理,当射线OC在∠AOB外部且在∠AON内部时,∠DOE=45°.
如图
(2),当射线OC在∠AOB外部且在∠MON内部时,
∵OC是∠DOE内一条射线，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE.
∵OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC,
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC).
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=270°,
∴∠DOE=135°.
14. 分类讨论思想 如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为-10和20,点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动,点Q同时从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)分别求当t= 2及t= 12时,对应的线段PQ的长度.
(2)当PQ= 5时,求出所有符合条件的t的值,并求出此时点Q所对应的数.
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动,点Q运动到点B时,立即改变运动方向,沿数轴的负方向运动,到达点A时,随即停止运动,在点Q的整个运动过程中,是否存在合适的t值,使得PQ= 8？若存在,求出所有符合条件的t值；若不存在,请说明理由.
(1)分别求当t= 2及t= 12时,对应的线段PQ的长度.
(2)当PQ= 5时,求出所有符合条件的t的值,并求出此时点Q所对应的数.
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动,点Q运动到点B时,立即改变运动方向,沿数轴的负方向运动,到达点A时,随即停止运动,在点Q的整个运动过程中,是否存在合适的t值,使得PQ= 8？若存在,求出所有符合条件的t值；若不存在,请说明理由.
答案：
(1)当运动时间为t秒时,点P对应的数为t,点Q对应的数为2t-10,
∴PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|.当t=2时,PQ=|2-10|=8;当t=12时,PQ=|12-10|=2.则当t=2时,线段PQ的长度为8,当t=12时,线段PQ的长度为2.
(2)根据题意,得|t-10|=5,解得t=5或t=15,当t=5时,点Q对应的数为2t-10=0;当t=15时,点Q对应的数为2t-10=20.则当PQ=5时,t的值为5或15,此时点Q所对应的数为0或20.
(3)存在.理由如下:当运动时间为t秒时,点P对应的数为t,点Q对应的数为$\left\{\begin{array}{l}2t-10(0＜t\leqslant 15),\\ 20-2(t-15)(15＜t\leqslant 30).\end{array}\right.$当0＜t≤15时,PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|,|t-10|=8,解得t₁=2,t₂=18(舍去);当15＜t≤30时,PQ=|t-[20-2(t-15)]|=|3t-50|,
∴|3t-50|=8,解得t₃=$\frac{58}{3}$,t₄=14(舍去).综上所述,在点Q的整个运动过程中,存在合适的t值,使得PQ=8,此时t的值为2或$\frac{58}{3}$.
思路引导 本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是:
(1)用含t的代数式表示出PQ的长度;
(2)由
(1)的结论结合PQ=5找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程;
(3)分0＜t≤15和15＜t≤30两种情况列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程.
(1)当运动时间为t秒时,点P对应的数为t,点Q对应的数为2t-10,
∴PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|.当t=2时,PQ=|2-10|=8;当t=12时,PQ=|12-10|=2.则当t=2时,线段PQ的长度为8,当t=12时,线段PQ的长度为2.
(2)根据题意,得|t-10|=5,解得t=5或t=15,当t=5时,点Q对应的数为2t-10=0;当t=15时,点Q对应的数为2t-10=20.则当PQ=5时,t的值为5或15,此时点Q所对应的数为0或20.
(3)存在.理由如下:当运动时间为t秒时,点P对应的数为t,点Q对应的数为$\left\{\begin{array}{l}2t-10(0＜t\leqslant 15),\\ 20-2(t-15)(15＜t\leqslant 30).\end{array}\right.$当0＜t≤15时,PQ=|t-(2t-10)|=|t-10|,|t-10|=8,解得t₁=2,t₂=18(舍去);当15＜t≤30时,PQ=|t-[20-2(t-15)]|=|3t-50|,
∴|3t-50|=8,解得t₃=$\frac{58}{3}$,t₄=14(舍去).综上所述,在点Q的整个运动过程中,存在合适的t值,使得PQ=8,此时t的值为2或$\frac{58}{3}$.
思路引导 本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是:
(1)用含t的代数式表示出PQ的长度;
(2)由
(1)的结论结合PQ=5找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程;
(3)分0＜t≤15和15＜t≤30两种情况列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程.