11.(2025·河南郑州七中期中改编)以下是小虎同学化简代数式$(a^2b+4ab)-3(ab-a^2b)$的过程.
$(a^2b+4ab)-3(ab-a^2b)$
$=a^2b+4ab-3ab-3a^2b……………$第一步
$=a^2b-3a^2b+4ab-3ab……………$第二步
$=ab-2a^2b.…………………………$第三步
(1)小虎同学解答过程在第
(2)小虎同学在解答的过程用到了去括号法则,去括号的依据是
(3)请你帮助小虎同学写出正确的解答过程.
(a²b+4ab)-3(ab-a²b)
=a²b+4ab-3ab+3a²b
=4a²b+ab.
$(a^2b+4ab)-3(ab-a^2b)$
$=a^2b+4ab-3ab-3a^2b……………$第一步
$=a^2b-3a^2b+4ab-3ab……………$第二步
$=ab-2a^2b.…………………………$第三步
(1)小虎同学解答过程在第
一
步开始出错,出错原因是括号前面是负号,去掉括号时,没有变号
;(2)小虎同学在解答的过程用到了去括号法则,去括号的依据是
乘法分配律
;(3)请你帮助小虎同学写出正确的解答过程.
(a²b+4ab)-3(ab-a²b)
=a²b+4ab-3ab+3a²b
=4a²b+ab.
答案：
(1)- 括号前面是负号,去掉括号时,没有变号
(2)乘法分配律
(3)(a²b+4ab)-3(ab-a²b)
=a²b+4ab-3ab+3a²b
=4a²b+ab.
(1)- 括号前面是负号,去掉括号时,没有变号
(2)乘法分配律
(3)(a²b+4ab)-3(ab-a²b)
=a²b+4ab-3ab+3a²b
=4a²b+ab.
12. 将式子4x+(3x-x)= 4x+3x-x,4x-(3x-x)= 4x-3x+x分别反过来,你得到两个怎样的等式?
(1)比较你得到的等式,你能总结添括号的法则吗?
(2)①根据上面你总结出的添括号法则,不改变多项式$-3x^5-4x^2+3x^3-2$的值,把它的后两项分别放在前面带有“+”号的括号里和前面带有“-”号的括号里.
②说出①中的代数式是几次几项式,并按x的降幂排列.
(1)比较你得到的等式,你能总结添括号的法则吗?
(2)①根据上面你总结出的添括号法则,不改变多项式$-3x^5-4x^2+3x^3-2$的值,把它的后两项分别放在前面带有“+”号的括号里和前面带有“-”号的括号里.
②说出①中的代数式是几次几项式,并按x的降幂排列.
答案：将式子4x+(3x-x)=4x+3x-x,4x-(3x-x)=4x-3x+x分别反过来,
得到4x+3x-x=4x+(3x-x),4x-3x+x=4x-(3x-x).
(1)添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,添加到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,添加到括号里的各项都改变符号.
(2)①-3x⁵-4x²+3x³-2=-3x⁵-4x²+(3x³-2).
-3x⁵-4x²+3x³-2=-3x⁵-4x²-(-3x³+2).
②它是五次四项式,按x的降幂排列是-3x⁵+3x³-4x²-2.
方法注释 本题考查了添括号.注意:
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号.也就是说,添括号时,括号前面的“+”或“-”也是新添的而不是原来多项式的某一项的符号移出来的.
(2)添括号与去括号互为逆变形,添括号是否正确,可以用去括号进行检验.
得到4x+3x-x=4x+(3x-x),4x-3x+x=4x-(3x-x).
(1)添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,添加到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,添加到括号里的各项都改变符号.
(2)①-3x⁵-4x²+3x³-2=-3x⁵-4x²+(3x³-2).
-3x⁵-4x²+3x³-2=-3x⁵-4x²-(-3x³+2).
②它是五次四项式,按x的降幂排列是-3x⁵+3x³-4x²-2.
方法注释 本题考查了添括号.注意:
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号.也就是说,添括号时,括号前面的“+”或“-”也是新添的而不是原来多项式的某一项的符号移出来的.
(2)添括号与去括号互为逆变形,添括号是否正确,可以用去括号进行检验.
13. 分类讨论思想 中考新考法 新定义问题 (2023·重庆中考)在多项式x-y-z-m-n(其中x＞y＞z＞m＞n)中,对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”.例如:x-y-|z-m|-n= x-y-z+m-n,|x-y|-z-|m-n|= x-y-z-m+n,…下列说法:
①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等;
②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.
其中正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等;
②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.
其中正确的个数是(
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C [解析]|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n,故说法①正确.
要使其运算结果与原多项式之和为0,则运算结果应为-x+y+z+m+n,
由x＞y＞z＞m＞n可知,无论怎样添加绝对值符号,结果都不可能出现-x+y+z+m+n,故说法②正确.
当添加一个绝对值时,共有4种情况,分别是|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n;x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n;x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n;x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n.当添加两个绝对值时,共有3种情况,分别是|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n;|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n;x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n.共有7种情况;
有两对运算结果相同,故共有5种不同运算结果,故说法③错误.
故选C.
素养考向 本题考查新定义题型,根据所给的定义,举出符合条件的代数式进行讨论;需要注意去绝对值时的符号,和所有可能结果的比较.主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用.
要使其运算结果与原多项式之和为0,则运算结果应为-x+y+z+m+n,
由x＞y＞z＞m＞n可知,无论怎样添加绝对值符号,结果都不可能出现-x+y+z+m+n,故说法②正确.
当添加一个绝对值时,共有4种情况,分别是|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n;x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n;x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n;x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n.当添加两个绝对值时,共有3种情况,分别是|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n;|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n;x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n.共有7种情况;
有两对运算结果相同,故共有5种不同运算结果,故说法③错误.
故选C.
素养考向 本题考查新定义题型,根据所给的定义,举出符合条件的代数式进行讨论;需要注意去绝对值时的符号,和所有可能结果的比较.主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用.
14. 已知多项式$A= 3x^2-x+1,B= kx^2-(2x^2+x-2).$
(1)当x= -1时,求A的值.
(2)小华认为无论k取何值,A-B的值都无法确定.小明认为k可以找到适当的数,使代数式A-B的值是常数.你认为谁的说法正确?请说明理由.
精题详解
(1)当x= -1时,求A的值.
(2)小华认为无论k取何值,A-B的值都无法确定.小明认为k可以找到适当的数,使代数式A-B的值是常数.你认为谁的说法正确?请说明理由.
精题详解
答案：
(1)因为A=3x²-x+1,所以当x=-1时,原式=3×(-1)²-(-1)+1=3×1+1+1=5.
(2)小明说法正确.理由如下:
A-B=3x²-x+1-[kx²-(2x²+x-2)]
=3x²-x+1-kx²+(2x²+x-2)
=3x²-x+1-kx²+2x²+x-2
=(5-k)x²-1.
当5-k=0,即k=5时,A-B=-1.
故小明的说法正确.
(1)因为A=3x²-x+1,所以当x=-1时,原式=3×(-1)²-(-1)+1=3×1+1+1=5.
(2)小明说法正确.理由如下:
A-B=3x²-x+1-[kx²-(2x²+x-2)]
=3x²-x+1-kx²+(2x²+x-2)
=3x²-x+1-kx²+2x²+x-2
=(5-k)x²-1.
当5-k=0,即k=5时,A-B=-1.
故小明的说法正确.