9. 如图,已知点 A,C,F,D 在同一直线上,AF= DC,AB= DE,∠A= ∠D. 求证：△ABC≌△DEF.
答案：
∵AF=DC,
∴AF-CF=DC-CF,即 AC=DF.在△ABC 和△DEF 中,{AC=DF,∠A=∠D,AB=DE,}
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∵AF=DC,
∴AF-CF=DC-CF,即 AC=DF.在△ABC 和△DEF 中,{AC=DF,∠A=∠D,AB=DE,}
∴△ABC≌△DEF(SAS).
10.(2025·扬州仪征期中)如图,点 B,F,C,E 在同一条直线上,BF= EC,AB= DE,∠B= ∠E. 求证：AC= DF.
答案：
∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中,{AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,}
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF.归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键.
∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中,{AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,}
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF.归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键.
11.(2024·宿迁宿豫区期中)如图,在△ABC 中,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为 E,F,点 P 在 CF 的延长线上,点 D 在线段 BE 上,且 CP= AB,BD= AC,连接 AP,AD.
(1)求证：△ABD≌△PCA；
(2)求∠P 的度数.
(1)求证：△ABD≌△PCA；
(2)求∠P 的度数.
答案：
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠EAF+∠ABD=90°,∠EAF+∠PCA=90°,
∴∠ABD=∠PCA.在△ABD 和△PCA 中,{AB=PC,∠ABD=∠PCA,BD=CA,}
∴△ABD≌△PCA(SAS).
(2)由
(1),得△ABD≌△PCA,
∴∠BAD=∠P,AD=PA,
∴∠ADF=∠P,
∴∠BAD=∠ADF.
∵∠CFA=90°,
∴∠BAD+∠ADF=90°,
∴2∠ADF=90°,
∴∠ADF=45°,
∴∠P=45°.
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠EAF+∠ABD=90°,∠EAF+∠PCA=90°,
∴∠ABD=∠PCA.在△ABD 和△PCA 中,{AB=PC,∠ABD=∠PCA,BD=CA,}
∴△ABD≌△PCA(SAS).
(2)由
(1),得△ABD≌△PCA,
∴∠BAD=∠P,AD=PA,
∴∠ADF=∠P,
∴∠BAD=∠ADF.
∵∠CFA=90°,
∴∠BAD+∠ADF=90°,
∴2∠ADF=90°,
∴∠ADF=45°,
∴∠P=45°.
12.(手拉手模型)如图,△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,∠ACD= ∠BCE= 90°,AE 交 DC 于点 F,BD 分别交 CE,AE 于点 G,H. 试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系,并说明理由.
答案：猜测 AE=BD,AE⊥BD.理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.
∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,
∴AC=DC,CE=CB.在△ACE 和△DCB 中,{AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,}
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠AFC=∠DFH,
∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.
∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,
∴AC=DC,CE=CB.在△ACE 和△DCB 中,{AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,}
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠AFC=∠DFH,
∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.
13.(2024·云南中考)如图,在△ABC 和△AED 中,AB= AE,∠BAE= ∠CAD,AC= AD. 求证：△ABC≌△AED.
答案：
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC 与△AED 中,{AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,}
∴△ABC≌△AED(SAS).归纳总结 本题考查了三角形全等的判定与性质,解题的关键是掌握三角形全等的判定定理.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC 与△AED 中,{AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,}
∴△ABC≌△AED(SAS).归纳总结 本题考查了三角形全等的判定与性质,解题的关键是掌握三角形全等的判定定理.