1.(湖南衡阳自主招生)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度 y(m)与挖掘时间 x(h)之间的关系如图所示,根据图象所提供的信息,其中不正确的是(
A.甲队挖掘 30 m 时,用了 3 h
B.挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 5 m
C.乙队的挖掘速度总是小于甲队
D.开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,x= 4
C
).A.甲队挖掘 30 m 时,用了 3 h
B.挖掘 5 h 时甲队比乙队多挖了 5 m
C.乙队的挖掘速度总是小于甲队
D.开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,x= 4
答案：1.C [解析]由图象,可得甲队的速度为60÷6=10(m/h).故甲队挖掘30m,用时30÷10=3(h).故A正确;
当x＞2时,乙队的速度为(50−30)÷(6−2)=5(m/h),故挖掘5h时甲队比乙队多挖了10×5−[30+(5−2)×5]=5(m).故B正确;
前2h乙队挖得快,在2~6h之间,甲队挖得快.故C 错误;
当2＜x＜6时,令[30+5(x−2)]−10x=0,得x=4.故D 正确.故选C.
当x＞2时,乙队的速度为(50−30)÷(6−2)=5(m/h),故挖掘5h时甲队比乙队多挖了10×5−[30+(5−2)×5]=5(m).故B正确;
前2h乙队挖得快,在2~6h之间,甲队挖得快.故C 错误;
当2＜x＜6时,令[30+5(x−2)]−10x=0,得x=4.故D 正确.故选C.
2.(2025·泰州姜堰区期末)如图,购买一种苹果所付款金额 y(元)与购买量 x(千克)之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成,若一次购买 5 千克这种苹果所付金额为$ y_1($元),购买五次 1 千克所付金额为$ y_2($元),则$ y_2 - y_1= $
6
.答案：2.6 [解析]由图象可得，2千克以内,每千克苹果的单价为20÷2=10(元),当x≥2时,设y与x的函数表达式为y=kx+b.
∵点(2,20),(4,36)在该函数图象上,
∴{2k + b = 20,4k + b = 36,解得{k = 8,b = 4,
即当x≥2时,y与x的函数表达式为y=8x+4,
y1=8×5+4=44,y2=10×5=50,
∴y2−y1=50−44=6.
∵点(2,20),(4,36)在该函数图象上,
∴{2k + b = 20,4k + b = 36,解得{k = 8,b = 4,
即当x≥2时,y与x的函数表达式为y=8x+4,
y1=8×5+4=44,y2=10×5=50,
∴y2−y1=50−44=6.
3. 为增加校园绿化面积,某校计划购买甲、乙两种树苗. 已知购买 20 棵甲种树苗和 16 棵乙种树苗共花费 1280 元,购买 1 棵甲种树苗比 1 棵乙种树苗多花费 10 元.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.
(2)若购买甲、乙两种树苗共 100 棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的 3 倍. 则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.
(2)若购买甲、乙两种树苗共 100 棵,且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的 3 倍. 则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.
答案：3.
(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元.
由题意，得{20x + 16y = 1280,x - y = 10,解得{x = 40,y = 30.
故甲种树苗每棵的价格是40元,乙种树苗每棵的价格是30元.
(2)购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.理由如下:设购买两种树苗共花费W元，购买甲种树苗m棵,则购买乙种树苗(100−m)棵.
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍,
∴100−m≤3m,解得m≥25.
根据题意,得W=40m+30(100−m)=10m+3000.
∵10＞0,
∴W随m的增大而增大,
∴当m=25时,W取最小值,最小值为10×25+3000=3250(元),此时100−m=75.
故购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.
(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元.
由题意，得{20x + 16y = 1280,x - y = 10,解得{x = 40,y = 30.
故甲种树苗每棵的价格是40元,乙种树苗每棵的价格是30元.
(2)购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.理由如下:设购买两种树苗共花费W元，购买甲种树苗m棵,则购买乙种树苗(100−m)棵.
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍,
∴100−m≤3m,解得m≥25.
根据题意,得W=40m+30(100−m)=10m+3000.
∵10＞0,
∴W随m的增大而增大,
∴当m=25时,W取最小值,最小值为10×25+3000=3250(元),此时100−m=75.
故购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.
4.(湖北襄阳自主招生)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 y,观影人数记为 x,其函数图象如图(1)所示. 由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象. 给出下列四种说法：
①图(2)对应的方案是提高票价,并提高成本；
②图(2)对应的方案是保持票价不变,并降低成本；
③图(3)对应的方案是提高票价,并保持成本不变；
④图(3)对应的方案是提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①图(2)对应的方案是提高票价,并提高成本；
②图(2)对应的方案是保持票价不变,并降低成本；
③图(3)对应的方案是提高票价,并保持成本不变；
④图(3)对应的方案是提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是(
C
).A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案：4.C [解析]由题图
(1)可知,点A的纵坐标的相反数表示成本,直线的倾斜程度越大表示票价越高.题图
(2)对应的方案是保持票价不变,并降低成本.故①错误，②正确;题图
(3)对应的方案是提高票价,并保持成本不变.故③正确，④错误.故选C.
(1)可知,点A的纵坐标的相反数表示成本,直线的倾斜程度越大表示票价越高.题图
(2)对应的方案是保持票价不变,并降低成本.故①错误，②正确;题图
(3)对应的方案是提高票价,并保持成本不变.故③正确，④错误.故选C.
5.(2025·无锡期末)如图,甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶到 B 城. 在整个行驶过程中,甲、乙两车距离 B 城的距离 y(km)与甲车行驶的时间 t(h)之间的函数关系如图所示,则甲、乙两车相距 50 千米时,t 的值为
$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$
.答案：5.$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$ [解析]设甲车距离B城的距离y1与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y1=k1t+b1(k1,b1为常数,且k1≠0).
将坐标(0,360)和(5,0)分别代入y1=k1t+b1,
得{b1 = 360,5k1 + b1 = 0,解得{k1 = -72,b1 = 360,
∴甲车距离B城的距离y1与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y1=−72t+360(0≤t≤5);
当1＜t≤4时,设乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2=k2t+b2(k2,b2为常数，且k2≠0).
将坐标(1,360)和(4,0)分别代入y2=k2t+b2,
得{k2 + b2 = 360,4k2 + b2 = 0,解得{k2 = -120,b2 = 480,
∴当1＜t≤4时,乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2=−120t+480,
∴乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2 = {360(0 ≤ t ≤ 1),-120t + 480(1 ＜ t ≤ 4),0(4 ＜ t ≤ 5).
当0≤t≤1时，甲、乙两车相距50千米时,得360-(−72t+360)=50,解得t = $\frac{25}{36}$;
当1＜t≤4时,甲、乙两车相距50千米时,得|−72t+360−(−120t+480)|=50,解得t = $\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$;
当4＜t≤5时,甲、乙两车相距50千米时,得−72t+360=50,解得t = $\frac{155}{36}$.
∴t的值为$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$.
将坐标(0,360)和(5,0)分别代入y1=k1t+b1,
得{b1 = 360,5k1 + b1 = 0,解得{k1 = -72,b1 = 360,
∴甲车距离B城的距离y1与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y1=−72t+360(0≤t≤5);
当1＜t≤4时,设乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2=k2t+b2(k2,b2为常数，且k2≠0).
将坐标(1,360)和(4,0)分别代入y2=k2t+b2,
得{k2 + b2 = 360,4k2 + b2 = 0,解得{k2 = -120,b2 = 480,
∴当1＜t≤4时,乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2=−120t+480,
∴乙车距离B城的距离y2与甲车行驶的时间t之间的函数关系为y2 = {360(0 ≤ t ≤ 1),-120t + 480(1 ＜ t ≤ 4),0(4 ＜ t ≤ 5).
当0≤t≤1时，甲、乙两车相距50千米时,得360-(−72t+360)=50,解得t = $\frac{25}{36}$;
当1＜t≤4时,甲、乙两车相距50千米时,得|−72t+360−(−120t+480)|=50,解得t = $\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$;
当4＜t≤5时,甲、乙两车相距50千米时,得−72t+360=50,解得t = $\frac{155}{36}$.
∴t的值为$\frac{25}{36}$或$\frac{35}{24}$或$\frac{85}{24}$或$\frac{155}{36}$.