11.(2025·连云港期中)如图,在△ABC 中,$∠ACB= 90^\circ,$$∠A= 52^\circ,$将其折叠,使点 A 落在边 BC 上的点 E 处,CA 与 CE 重合,折痕为 CD,则∠EDB 的度数是______.
14°
答案：14° [解析]在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 52°，
∴∠B = 90° - 52° = 38°，
由题意，可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED = ∠A = 52°，
由图可知，∠CED 是△EBD 的外角，
∴∠CED = ∠B + ∠EDB，
∴52° = 38° + ∠EDB，
∴∠EDB = 14°.
∴∠B = 90° - 52° = 38°，
由题意，可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED = ∠A = 52°，
由图可知，∠CED 是△EBD 的外角，
∴∠CED = ∠B + ∠EDB，
∴52° = 38° + ∠EDB，
∴∠EDB = 14°.
12.(2024·牡丹江中考)如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,CF//AB,D,E,F 三点共线,请添加一个条件______
DE = EF
,使得 AE= CE.(只需填一种情况即可)答案：DE = EF 或 AD = CF(答案不唯一) [解析]
∵CF//AB，
∴∠A = ∠ECF，∠ADE = ∠CFE，
∴添加条件 DE = EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，添加条件 AD = CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA).
∵CF//AB，
∴∠A = ∠ECF，∠ADE = ∠CFE，
∴添加条件 DE = EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，添加条件 AD = CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA).
13. 如图,D,C 为 AF 上两点,AD= CF,∠A= ∠EDF,要用 ASA 判定△ABC≌△DEF,需补充角的条件是
∠ACB = ∠F
.答案：∠ACB = ∠F [解析]
∵AD = CF，
∴AC = DF.
∵∠A = ∠EDF，
∴要用 ASA 判定△ABC≌△DEF，需补充角的条件是∠ACB = ∠F.
∵AD = CF，
∴AC = DF.
∵∠A = ∠EDF，
∴要用 ASA 判定△ABC≌△DEF，需补充角的条件是∠ACB = ∠F.
14. 如图,在△ABC 和△ADC 中,AB= AD,AC 平分∠DAB,$∠B= 120^\circ,$$∠DAB= 66^\circ,$则∠DCA 的度数是
27°
.答案：27° [解析]
∵AC 平分∠DAB，∠DAB = 66°，
∴∠DAC = ∠BAC = 33°.
在△ADC 和△ABC 中，{AD = AB，∠DAC = ∠BAC，AC = AC}，
∴△ADC≌△ABC(SAS)，
∴∠ACD = ∠ACB.
∵∠B = 120°，
∴∠DCA = ∠ACB = 180° - 120° - 33° = 27°.
∵AC 平分∠DAB，∠DAB = 66°，
∴∠DAC = ∠BAC = 33°.
在△ADC 和△ABC 中，{AD = AB，∠DAC = ∠BAC，AC = AC}，
∴△ADC≌△ABC(SAS)，
∴∠ACD = ∠ACB.
∵∠B = 120°，
∴∠DCA = ∠ACB = 180° - 120° - 33° = 27°.
15. 在△ABC 中,已知 AB= BC≠AC,作与△ABC 只有一条公共边,且与△ABC 全等的三角形,这样的三角形一共能作出______个.
答案：
7 [解析]如图，以 AB 为公共边有三个，以 CB 为公共边有三个，以 AC 为公共边有一个，
所以一共能作出 7 个.
归纳总结：本题考查了全等三角形的作法. 作三角形时要根据全等三角形的判定方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键.
7 [解析]如图，以 AB 为公共边有三个，以 CB 为公共边有三个，以 AC 为公共边有一个，
所以一共能作出 7 个.
归纳总结：本题考查了全等三角形的作法. 作三角形时要根据全等三角形的判定方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键.
16. 中考新考法 满足结论的条件开放 如图,点 A 和动点 P 在直线 l 上,点 P 关于点 A 的对称点为 Q,以 AQ 为边作 Rt△ABQ,使$∠BAQ= 90^\circ,$AQ:AB= 3:4. 直线 l 上有一点 C 在点 P 右侧,PC= 4 cm,过点 C 作射线 CD⊥l,点 F 为射线 CD 上的一个动点,连接 AF. 当△AFC 与△ABQ 全等时,AQ=
12 或 2 或 $\frac{12}{7}$
cm.答案：12 或 2 或 $\frac{12}{7}$ [解析]当点 P 在点 A 的右侧时，AC 不可能等于 AQ，要使三角形全等，只能 AC = AB.
要使△AFC 与△ABQ 全等，则应满足{AB = CA，∠BAQ = ∠ACF，AQ = CF}.
∵AQ:AB = 3:4，AQ = AP，PC = 4cm，
∴设 AQ = 3xcm，AB = 4xcm，则有 4x - 3x = 4，
∴x = 4，
∴AQ = 12cm.
当点 P 在点 A 的左侧时，若 AC = AQ(即 C，Q 重合)，可得 AQ = 2cm；
若 AC = AB，可得 AQ = $\frac{12}{7}$cm.
故当△AFC 与△ABQ 全等时，AQ = 12cm 或 2cm 或 $\frac{12}{7}$cm.
要使△AFC 与△ABQ 全等，则应满足{AB = CA，∠BAQ = ∠ACF，AQ = CF}.
∵AQ:AB = 3:4，AQ = AP，PC = 4cm，
∴设 AQ = 3xcm，AB = 4xcm，则有 4x - 3x = 4，
∴x = 4，
∴AQ = 12cm.
当点 P 在点 A 的左侧时，若 AC = AQ(即 C，Q 重合)，可得 AQ = 2cm；
若 AC = AB，可得 AQ = $\frac{12}{7}$cm.
故当△AFC 与△ABQ 全等时，AQ = 12cm 或 2cm 或 $\frac{12}{7}$cm.
17.(2024·南京联合体期中)在△ABC 中,$∠A= 30^\circ,$AB= 2. 若对于 BC 的每一个值,对应的△ABC 的形状、大小都唯一确定,则 BC 长的取值范围是
BC = 1 或 BC≥2
.答案：BC = 1 或 BC≥2 [解析]当 BC⊥AC 时，由“HL”判定△ABC 的形状、大小都唯一确定.
∵∠A = 30°，
∴BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×2 = 1.
以 B 为圆心，大于或等于 AB 的长为半径画弧，与射线 BC 只有一个交点(A 除外)，此时△ABC 的形状、大小都唯一确定，
∴BC≥2，
∴BC 长的取值范围是 BC = 1 或 BC≥2.
∵∠A = 30°，
∴BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×2 = 1.
以 B 为圆心，大于或等于 AB 的长为半径画弧，与射线 BC 只有一个交点(A 除外)，此时△ABC 的形状、大小都唯一确定，
∴BC≥2，
∴BC 长的取值范围是 BC = 1 或 BC≥2.
18. 如图,在△ABC 中,$∠A= 90^\circ,$AB= AC,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,CE⊥BD,交 BD 的延长线于点 E,若 BD= 7,则 CE= ______.
答案：
3.5 [解析]如图，延长 BA，CE 相交于点 F.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CBD.
在△BCE 和△BFE 中，{∠CBE = ∠FBE，BE = BE，∠BEC = ∠BEF = 90°}，
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
∴EC = EF.
∵∠BAC = 90°，CE⊥BD，
∴∠ACF + ∠F = 90°，∠ABD + ∠F = 90°，
∴∠ABD = ∠ACF.
在△ABD 和△ACF 中，{∠ABD = ∠ACF，AB = AC，∠BAD = ∠CAF = 90°}，
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD = CF.
∵CF = CE + EF = 2CE，
∴BD = 2CE = 7，
∴CE = 3.5.
3.5 [解析]如图，延长 BA，CE 相交于点 F.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CBD.
在△BCE 和△BFE 中，{∠CBE = ∠FBE，BE = BE，∠BEC = ∠BEF = 90°}，
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
∴EC = EF.
∵∠BAC = 90°，CE⊥BD，
∴∠ACF + ∠F = 90°，∠ABD + ∠F = 90°，
∴∠ABD = ∠ACF.
在△ABD 和△ACF 中，{∠ABD = ∠ACF，AB = AC，∠BAD = ∠CAF = 90°}，
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD = CF.
∵CF = CE + EF = 2CE，
∴BD = 2CE = 7，
∴CE = 3.5.
19.(2025·无锡江阴期中)如图,四边形 ABCD 中,AC= BC,$∠ACB= ∠ADC= 90^\circ,$CD= 8,则△BCD 的面积为______.
答案：
32 [解析]如图，过点 B 作 BH⊥DC 交 DC 的延长线于点 H.
∵∠H = ∠ACB = ∠ADC = 90°，
∴∠BCH + ∠ACD = 90°，∠ACD + ∠CAD = 90°，
∴∠BCH = ∠CAD，
在△BHC 和△CDA 中，{∠H = ∠ADC，∠BCH = ∠CAD，CB = AC}，
∴△BHC≌△CDA(AAS)，
∴BH = CD = 8，
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$CD·BH = $\frac{1}{2}$×8×8 = 32.
32 [解析]如图，过点 B 作 BH⊥DC 交 DC 的延长线于点 H.
∵∠H = ∠ACB = ∠ADC = 90°，
∴∠BCH + ∠ACD = 90°，∠ACD + ∠CAD = 90°，
∴∠BCH = ∠CAD，
在△BHC 和△CDA 中，{∠H = ∠ADC，∠BCH = ∠CAD，CB = AC}，
∴△BHC≌△CDA(AAS)，
∴BH = CD = 8，
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$CD·BH = $\frac{1}{2}$×8×8 = 32.
20.(2025·南京中华中学初中部期中)在△ABC 中,AC= 5,中线 AD= 4,则边 AB 的取值范围是______.
答案：
3＜AB＜13 [解析]如图，延长 AD 至点 E，使 DE = AD，连接 CE.
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD = CD.
在△ABD 和△ECD 中，{BD = CD，∠ADB = ∠EDC，AD = DE}，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB = EC.
∵AD = 4，
∴AE = 4 + 4 = 8.
∵8 + 5 = 13，8 - 5 = 3，
∴3＜EC＜13，
即 3＜AB＜13.
方法诠释：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键.
3＜AB＜13 [解析]如图，延长 AD 至点 E，使 DE = AD，连接 CE.
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD = CD.
在△ABD 和△ECD 中，{BD = CD，∠ADB = ∠EDC，AD = DE}，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB = EC.
∵AD = 4，
∴AE = 4 + 4 = 8.
∵8 + 5 = 13，8 - 5 = 3，
∴3＜EC＜13，
即 3＜AB＜13.
方法诠释：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键.
21. 如图,△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上,试在网格纸上按下列要求画格点三角形.
(1)画一个三角形与△ABC 全等且只有一个公共点；
(2)画一个三角形与△ABC 全等且只有一条公共边.
(1)画一个三角形与△ABC 全等且只有一个公共点；
(2)画一个三角形与△ABC 全等且只有一条公共边.
答案：
(1)如图，△A₁BC 即为所求.(答案不唯一)
(2)如图，△ABC₂ 即为所求.(答案不唯一)
(1)如图，△A₁BC 即为所求.(答案不唯一)
(2)如图，△ABC₂ 即为所求.(答案不唯一)
22.(2024·南通一模)如图,已知 A,D,C,E 在同一直线上,BC 和 DF 相交于点 O,AD= CE,AB//DF,AB= DF.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接 CF,若$∠BCF= 54^\circ,$$∠DFC= 20^\circ,$求∠DFE 的度数.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接 CF,若$∠BCF= 54^\circ,$$∠DFC= 20^\circ,$求∠DFE 的度数.
答案：
(1)
∵AB//DF，
∴∠A = ∠EDF.
∵AD = CE，
∴AD + CD = CE + CD，即 AC = DE.
在△ABC 和△DFE 中，{AB = DF，∠A = ∠FDE，AC = DE}，
∴△ABC≌△DFE(SAS).
(2)
∵∠BCF = 54°，∠DFC = 20°，
∴∠DOC = ∠BCF + ∠DFC = 54° + 20° = 74°.
∵AB//DF，
∴∠B = ∠DOC = 74°.
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE = ∠B = 74°.
(1)
∵AB//DF，
∴∠A = ∠EDF.
∵AD = CE，
∴AD + CD = CE + CD，即 AC = DE.
在△ABC 和△DFE 中，{AB = DF，∠A = ∠FDE，AC = DE}，
∴△ABC≌△DFE(SAS).
(2)
∵∠BCF = 54°，∠DFC = 20°，
∴∠DOC = ∠BCF + ∠DFC = 54° + 20° = 74°.
∵AB//DF，
∴∠B = ∠DOC = 74°.
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE = ∠B = 74°.