23.(2024·苏州昆山一模)如图,在△ABC 中,D 为 AB 上一点,E 为 AC 中点,连接 DE 并延长至点 F,使得 EF= ED,连接 CF.
(1)求证：CF//AB；
(2)若$∠A= 70^\circ,$$∠F= 35^\circ,$BE⊥AC,求∠BED 的度数.
(1)求证：CF//AB；
(2)若$∠A= 70^\circ,$$∠F= 35^\circ,$BE⊥AC,求∠BED 的度数.
答案：
(1)
∵E 为 AC 中点，
∴AE = CE，
在△AED 和△CEF 中，{AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = EF}，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A = ∠ACF，
∴CF//AB.
(2)
∵∠A = ∠ACF = 70°，∠F = 35°，
∴∠AED = ∠CEF = 180° - 70° - 35° = 75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB = 90°，
∴∠BED = 90° - 75° = 15°.
(1)
∵E 为 AC 中点，
∴AE = CE，
在△AED 和△CEF 中，{AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = EF}，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A = ∠ACF，
∴CF//AB.
(2)
∵∠A = ∠ACF = 70°，∠F = 35°，
∴∠AED = ∠CEF = 180° - 70° - 35° = 75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB = 90°，
∴∠BED = 90° - 75° = 15°.
24.(2024·泰州高港区期中)如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为 D,C,请从①AE//BF；②AE= BF；③AC= BD 中选择两个作为补充条件,余下一个作为结论,并写出结论成立的证明过程. 你选的补充条件是
①②
,结论是③
.(填序号)答案：补充条件选①②，结论为③.(答案不唯一)证明如下：
∵AE//BF，
∴∠A = ∠B.
∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE = ∠FCB = 90°.
在△ADE 与△BCF 中，{∠ADE = ∠BCF，∠A = ∠B，AE = BF}，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴AD = CB，
∴AC = BD.
或补充条件是①③，结论是②或补充条件是②③，结论是①，证明略.
∵AE//BF，
∴∠A = ∠B.
∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE = ∠FCB = 90°.
在△ADE 与△BCF 中，{∠ADE = ∠BCF，∠A = ∠B，AE = BF}，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴AD = CB，
∴AC = BD.
或补充条件是①③，结论是②或补充条件是②③，结论是①，证明略.
25.(2025·无锡锡山高级中学实验学校期中)如图,在△ABC 中,以 AB,AC 为边向外作等腰三角形 ABD,△ACE,且 AB= AD,AC= AE,F 为 BC 中点,∠DAB= ∠CAE= α. 连接 DE,DC,BE,AF.
(1)证明△ADC≌△ABE；
(2)当 DE= 2AF 时,
①求 α 的大小；
②判断△ABC 与△ADE 面积之间的关系,并说明理由.
(1)证明△ADC≌△ABE；
(2)当 DE= 2AF 时,
①求 α 的大小；
②判断△ABC 与△ADE 面积之间的关系,并说明理由.
答案：
(1)
∵∠DAB = ∠CAE = α，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
即∠DAC = ∠EAB，
在△DAC 和△BAE 中，{AB = AD，∠DAC = ∠EAB，AC = AE}，
∴△ADC≌△ABE(SAS).
(2)①如图
(1)，延长 AF 至 G，使得 GF = AF，连接 BG.
∵F 为 BC 中点，
∴BF = CF = $\frac{1}{2}$BC.
在△GFB 和△AFC 中，{GF = AF，∠BFG = ∠AFC，BF = CF}，
∴△GFB≌△AFC(SAS)，
∴AC = BG，∠1 = ∠G.
∵DE = 2AF，
∴DE = AG.
∵AB = AD，AC = AE，
∴BG = AE，
在△ABG 和△DAE 中，{AG = DE，AB = AD，BG = AE}，
∴△ABG≌△DAE(SSS)，
∴∠2 = ∠3.
∵∠3 + ∠BAG + ∠G = 180°，
∴∠2 + ∠BAG + ∠1 = 180°，
即∠DAB + ∠EAC = 360° - (∠2 + ∠BAG + ∠1) = 180°，
∴2α = 180°，则 α = 90°.
②△ABC 与△ADE 面积相等. 理由如下：
如图
(2)，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，过点 E 作 EN⊥DA 交 DA 延长线于 N，
∵α = 90°，
∴△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形.
∵∠BAD + ∠CAE + ∠BAC + ∠DAE = 360°，
∴∠BAC + ∠DAE = 180°.
∵∠DAE + ∠EAN = 180°，
∴∠BAC = ∠EAN，
在△ACM 和△AEN 中，{∠MAC = ∠NAE，∠AMC = ∠ANE，AC = AE}，
∴△ACM≌△AEN(AAS)，
∴CM = EN.
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CM，S△ADE = $\frac{1}{2}$AD·EN，
∴S△ABC = S△ADE.
(1)
∵∠DAB = ∠CAE = α，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
即∠DAC = ∠EAB，
在△DAC 和△BAE 中，{AB = AD，∠DAC = ∠EAB，AC = AE}，
∴△ADC≌△ABE(SAS).
(2)①如图
(1)，延长 AF 至 G，使得 GF = AF，连接 BG.
∵F 为 BC 中点，
∴BF = CF = $\frac{1}{2}$BC.
在△GFB 和△AFC 中，{GF = AF，∠BFG = ∠AFC，BF = CF}，
∴△GFB≌△AFC(SAS)，
∴AC = BG，∠1 = ∠G.
∵DE = 2AF，
∴DE = AG.
∵AB = AD，AC = AE，
∴BG = AE，
在△ABG 和△DAE 中，{AG = DE，AB = AD，BG = AE}，
∴△ABG≌△DAE(SSS)，
∴∠2 = ∠3.
∵∠3 + ∠BAG + ∠G = 180°，
∴∠2 + ∠BAG + ∠1 = 180°，
即∠DAB + ∠EAC = 360° - (∠2 + ∠BAG + ∠1) = 180°，
∴2α = 180°，则 α = 90°.
②△ABC 与△ADE 面积相等. 理由如下：
如图
(2)，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，过点 E 作 EN⊥DA 交 DA 延长线于 N，
∵α = 90°，
∴△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形.
∵∠BAD + ∠CAE + ∠BAC + ∠DAE = 360°，
∴∠BAC + ∠DAE = 180°.
∵∠DAE + ∠EAN = 180°，
∴∠BAC = ∠EAN，
在△ACM 和△AEN 中，{∠MAC = ∠NAE，∠AMC = ∠ANE，AC = AE}，
∴△ACM≌△AEN(AAS)，
∴CM = EN.
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CM，S△ADE = $\frac{1}{2}$AD·EN，
∴S△ABC = S△ADE.