9.如图,在 Rt△ABC 中,∠A= 90°,在边 BC 上取点 D,使得 CD= CA,过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于点 E.若 AB= 10,DE= 4,求 BE 的长.
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答案：6
解析：
连接CE。
因为DE⊥BC，∠A=90°，所以∠EDC=∠A=90°。
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CA=CD，CE=CE，所以Rt△ACE≌Rt△DCE（HL），则AE=DE=4。
因为AB=10，所以BE=AB - AE=10 - 4=6。
6
因为DE⊥BC，∠A=90°，所以∠EDC=∠A=90°。
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CA=CD，CE=CE，所以Rt△ACE≌Rt△DCE（HL），则AE=DE=4。
因为AB=10，所以BE=AB - AE=10 - 4=6。
6
10.(2024·南京二十九中月考)如图,已知∠A= ∠D= 90°,E,F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O,且 AB= CD,BE= CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
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答案：
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和Rt△DCE中,$\left\{\begin{array}{l} BF=CE,\\ AB=DC,\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和Rt△DCE中,$\left\{\begin{array}{l} BF=CE,\\ AB=DC,\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
11. 角平分线模型 (2025·无锡江阴期中)在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,点 D 是 CB 延长线上一点,点 E 是线段 AB 上一点,连接 DE. AC= DE,BC= BE.
(1)求证：AB= BD；
(2)BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F,点 G 是线段 FB 延长线上一点,连接 DG,点 H 是线段 DG 上一点,连接 AH 交 BD 于点 K,连接 KG. 当 KB 平分∠AKG 时,求证：AK= DG+KG.
(1)求证：AB= BD；
(2)BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F,点 G 是线段 FB 延长线上一点,连接 DG,点 H 是线段 DG 上一点,连接 AH 交 BD 于点 K,连接 KG. 当 KB 平分∠AKG 时,求证：AK= DG+KG.
答案：
(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中,$\left\{\begin{array}{l} AC=DE,\\ BC=BE,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL),
∴AB=BD.
(2)如图,作BM平分∠ABD交AK于点M.
∵BM平分∠ABD,KB平分∠AKG,BF平分∠ABC,
∴∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,∠ABF=∠FBC=45°.
∵∠FBC=∠DBG=45°,
∴∠MBD=∠GBD.在△BMK和△BGK中,$\left\{\begin{array}{l} ∠MBK=∠GBK,\\ BK=BK,\\ ∠MKB=∠GKB,\end{array}\right.$
∴△BMK≌△BGK(ASA),
∴BM=BG,MK=KG.在△ABM和△DBG中,$\left\{\begin{array}{l} AB=DB,\\ ∠ABM=∠DBG,\\ BM=BG,\end{array}\right.$
∴△ABM≌△DBG(SAS),
∴AM=DG.
∵AK=AM+MK,
∴AK=DG+KG.
(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中,$\left\{\begin{array}{l} AC=DE,\\ BC=BE,\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL),
∴AB=BD.
(2)如图,作BM平分∠ABD交AK于点M.
∵BM平分∠ABD,KB平分∠AKG,BF平分∠ABC,
∴∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,∠ABF=∠FBC=45°.
∵∠FBC=∠DBG=45°,
∴∠MBD=∠GBD.在△BMK和△BGK中,$\left\{\begin{array}{l} ∠MBK=∠GBK,\\ BK=BK,\\ ∠MKB=∠GKB,\end{array}\right.$
∴△BMK≌△BGK(ASA),
∴BM=BG,MK=KG.在△ABM和△DBG中,$\left\{\begin{array}{l} AB=DB,\\ ∠ABM=∠DBG,\\ BM=BG,\end{array}\right.$
∴△ABM≌△DBG(SAS),
∴AM=DG.
∵AK=AM+MK,
∴AK=DG+KG.
12. 中考新考法 过程纠错改错 (2023·南通中考)如图,点 D,E 分别在 AB,AC 上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD 相交于点 O,OB= OC. 求证：∠1= ∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C. ……第一步
又 OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO. ……第二步
∴∠1= ∠2. ……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第______步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
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(1)小虎同学的证明过程中,第
(2)请写出正确的证明过程.
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C. ……第一步
又 OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO. ……第二步
∴∠1= ∠2. ……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第______步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
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(1)小虎同学的证明过程中,第
二
步出现错误；(2)请写出正确的证明过程.
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
答案：
(1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
(1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.