1. 手拉手模型(2025·江苏无锡江阴实验中学月考)在△ABC 中,AB= AC,点 D 是射线 CB 上的一动点(不与点 B,C 重合),以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE,使 AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接 CE.
(1)如图(1),当点 D 在线段 CB 上,且∠BAC= 90°时,那么∠DCE= ______度；
(2)设∠BAC= α,∠DCE= β.
①如图(2),当点 D 在线段 CB 上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论；
②如图(3),当点 D 在线段 CB 的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,写出此时α与β之间的数量关系并证明.
精题详解
(1)如图(1),当点 D 在线段 CB 上,且∠BAC= 90°时,那么∠DCE= ______度；
(2)设∠BAC= α,∠DCE= β.
①如图(2),当点 D 在线段 CB 上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论；
②如图(3),当点 D 在线段 CB 的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,写出此时α与β之间的数量关系并证明.
精题详解答案：
1.
(1) 90 [解析]
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°.证明如下:
∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=180°-α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β,
∴α+β=180°.
②α=β.证明如下:作出图形如图所示，
∵∠BAD+∠BAE=α,
∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.
1.
(1) 90 [解析]
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°.证明如下:
∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=180°-α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β,
∴α+β=180°.
②α=β.证明如下:作出图形如图所示，
∵∠BAD+∠BAE=α,
∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.
2.(2025·河北承德期末)如图,AE 与 BD 相交于点 C,AC= EC,BC= DC,AB= 8 cm,点 P 从点 A 出发,沿 A→B→A 方向以 2 cm/s 的速度运动,点 Q 同时从点 D 出发,沿 D→E 方向以 1 cm/s 的速度运动,当点 P 到达点 A 时,P,Q 两点同时停止运动,设点 P 的运动时间为 t s.
(1)当点 P 在 A→B 运动时,BP= ______；(用含 t 的代数式表示)
(2)求证：AB= ED；
(3)当 P,Q,C 三点共线时,求 t 的值.
(1)当点 P 在 A→B 运动时,BP= ______；(用含 t 的代数式表示)
(8 - 2t)cm
(2)求证：AB= ED；
在△ABC 和△EDC 中,{BC=DC,∠BCA=∠DCE,AC=EC}
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
(3)当 P,Q,C 三点共线时,求 t 的值.
根据题意得 DQ=t cm,则 EQ=(8 - t)cm.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8 cm.
∵P,Q,C 三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP 和△ECQ 中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
∴当 0≤t≤4 时,2t=8 - t,解得 t = $\frac{8}{3}$.
当 4 ＜ t≤8 时,AP=(16 - 2t)cm,
∴16 - 2t=8 - t,解得 t = 8.
综上所述,当 P,C,Q 三点共线时,t 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 8.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8 cm.
∵P,Q,C 三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP 和△ECQ 中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
∴当 0≤t≤4 时,2t=8 - t,解得 t = $\frac{8}{3}$.
当 4 ＜ t≤8 时,AP=(16 - 2t)cm,
∴16 - 2t=8 - t,解得 t = 8.
综上所述,当 P,C,Q 三点共线时,t 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 8.
答案：2.
(1)(8 - 2t)cm [解析] 点 P 从点 A 出发,沿 A→B→A 方向以 2 cm/s 的速度运动,点 Q 同时从点 D 出发,沿 D→E 方向以 1 cm/s 的速度运动,设点 P 的运动时间为 t s.根据题意得 AP=2t cm,则 BP=(8 - 2t)cm.
(2)在△ABC 和△EDC 中,{BC=DC,∠BCA=∠DCE,AC=EC}
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
(3)根据题意得 DQ=t cm,则 EQ=(8 - t)cm.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8 cm.
∵P,Q,C 三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP 和△ECQ 中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
∴当 0≤t≤4 时,2t=8 - t,解得 t = $\frac{8}{3}$.
当 4 ＜ t≤8 时,AP=(16 - 2t)cm,
∴16 - 2t=8 - t,解得 t = 8.
综上所述,当 P,C,Q 三点共线时,t 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 8.
(1)(8 - 2t)cm [解析] 点 P 从点 A 出发,沿 A→B→A 方向以 2 cm/s 的速度运动,点 Q 同时从点 D 出发,沿 D→E 方向以 1 cm/s 的速度运动,设点 P 的运动时间为 t s.根据题意得 AP=2t cm,则 BP=(8 - 2t)cm.
(2)在△ABC 和△EDC 中,{BC=DC,∠BCA=∠DCE,AC=EC}
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
(3)根据题意得 DQ=t cm,则 EQ=(8 - t)cm.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8 cm.
∵P,Q,C 三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP 和△ECQ 中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ}
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
∴当 0≤t≤4 时,2t=8 - t,解得 t = $\frac{8}{3}$.
当 4 ＜ t≤8 时,AP=(16 - 2t)cm,
∴16 - 2t=8 - t,解得 t = 8.
综上所述,当 P,C,Q 三点共线时,t 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 8.
3.(2025·广东东莞光明中学期中)如图(1),AB= 14 cm,AC= 10 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B,点 P 在线段 AB 上以 2 cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时点 Q 在射线 BD 上运动,它们运动的时间为 t(s)(当点 P 运动结束时,点 Q 运动随之结束).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t= 2 时,△ACP 与△BPQ 是否全等？并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,请分别说明理由.
(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA”,点 Q 的运动速度为 x cm/s,其他条件不变,当点 P,Q 运动到何处时△ACP 与△BPQ 全等？求出相应的 x 和 t 的值.
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t= 2 时,△ACP 与△BPQ 是否全等？并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,请分别说明理由.
(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA”,点 Q 的运动速度为 x cm/s,其他条件不变,当点 P,Q 运动到何处时△ACP 与△BPQ 全等？求出相应的 x 和 t 的值.
答案：3.
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
当 t = 2 时,AP=BQ=2×2 = 4(cm),
∴BP=AB - AP=10 cm,
∴BP=AC.
在△ACP 和△BPQ 中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP}
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则 AC=BP,AP=BQ,可得 10 = 14 - 2t,2t = xt,
解得 x = 2,t = 2;
②若△ACP≌△BQP,
则 AC=BQ,AP=BP,可得 10 = xt,2t = 14 - 2t,
解得 x = $\frac{20}{7}$,t = $\frac{7}{2}$.
综上所述,当△ACP 与△BPQ 全等时,x = 2,t = 2 或 x = $\frac{20}{7}$,t = $\frac{7}{2}$.
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
当 t = 2 时,AP=BQ=2×2 = 4(cm),
∴BP=AB - AP=10 cm,
∴BP=AC.
在△ACP 和△BPQ 中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP}
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则 AC=BP,AP=BQ,可得 10 = 14 - 2t,2t = xt,
解得 x = 2,t = 2;
②若△ACP≌△BQP,
则 AC=BQ,AP=BP,可得 10 = xt,2t = 14 - 2t,
解得 x = $\frac{20}{7}$,t = $\frac{7}{2}$.
综上所述,当△ACP 与△BPQ 全等时,x = 2,t = 2 或 x = $\frac{20}{7}$,t = $\frac{7}{2}$.