1. (2025·徐州期中)如图,AC= AD,BC= BD,则下列判断正确的是(
A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
]
A
).A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
]
答案：A [解析]
∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD.故选A
∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD.故选A
2. 教材 P36 例 1·变式 (2024·河北沧州期末)如图,在△ABC 中,边 AB,AC 的垂直平分线交于点 P,连接 BP,CP,若∠A= 50°,则∠BPC 的度数为( ).
A.100°
B.95°
C.90°
D.50°
]
A.100°
B.95°
C.90°
D.50°
]
答案：
A [解析]如图，连接AP，延长BP交AC于点D，
∴∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP.
→三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC，
易得∠ABP=∠BAP，
∠ACP=∠CAP，
∴∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=2×50°=100°.故选A
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
A [解析]如图，连接AP，延长BP交AC于点D，
∴∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP.
→三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC，
易得∠ABP=∠BAP，
∠ACP=∠CAP，
∴∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=2×50°=100°.故选A
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
3. 教材 P36 练习 T2·变式 (2024·镇江句容期中)如图,AB= AC= 10 cm,AB 的垂直平分线分别交 AC,AB 于点 D,E,若△BCD 的周长等于 18 cm,则 BC 的长为
8
cm.答案：8 [解析]
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AD=BD.
∵△BCD的周长等于18cm，
∴BD+CD+BC=18cm，
∴AD+CD+BC=18cm，即AC+BC=18cm.
∵AB=AC=10cm，
∴BC=18−10=8(cm).
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AD=BD.
∵△BCD的周长等于18cm，
∴BD+CD+BC=18cm，
∴AD+CD+BC=18cm，即AC+BC=18cm.
∵AB=AC=10cm，
∴BC=18−10=8(cm).
4. 新情境 确定公共服务设施地点 某帆船中心要修建一处公共服务设施,使它到三所运动员公寓 A,B,C 的距离相等. 若三所运动员公寓 A,B,C 的位置如图所示,请你在图中确定这处公共服务设施(用点 P 表示)的位置.
]
]
答案：
如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求.
如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求.
5. 已知两条互不平行的线段 AB 和 A'B'关于直线 l 对称,AB 和 A'B'所在的直线交于点 P,给出下列结论：①AB= A'B'；②点 P 在直线 l 上；③若 A,A'是对称点,则直线 l 垂直平分线段 AA'；④若点 B,B'是对称点,则 PB= PB'. 其中正确的是(
A.①②
B.③④
C.①③④
D.①②③④
D
).A.①②
B.③④
C.①③④
D.①②③④
答案：D
解析：
①
∵AB和A'B'关于直线l对称，
∴AB=A'B'，正确；
②
∵AB和A'B'所在直线交于点P，且关于直线l对称，
∴点P在直线l上，正确；
③若A,A'是对称点，根据轴对称性质，直线l垂直平分线段AA'，正确；
④若点B,B'是对称点，P在对称轴l上，
∴PB=PB'，正确。
结论：①②③④均正确，答案选D。
∵AB和A'B'关于直线l对称，
∴AB=A'B'，正确；
②
∵AB和A'B'所在直线交于点P，且关于直线l对称，
∴点P在直线l上，正确；
③若A,A'是对称点，根据轴对称性质，直线l垂直平分线段AA'，正确；
④若点B,B'是对称点，P在对称轴l上，
∴PB=PB'，正确。
结论：①②③④均正确，答案选D。
6. (2025·镇江丹徒区一模)在△ABC 中,∠ABC 的平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D,连接 CD. 若∠A= 70°,∠ABC= 60°,则∠ACD 的度数为(
A.15°
B.20°
C.18°
D.22°
]
B
).A.15°
B.20°
C.18°
D.22°
]
答案：B [解析]
∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−70°−60°=50°.
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
易得∠DCB=∠DBC=30°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=20°.
故选B.
∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−70°−60°=50°.
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
易得∠DCB=∠DBC=30°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=20°.
故选B.
7. 如图,点 E,F,G,Q,H 在一条直线上,且 EF= GH,我们知道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平分线. 下列说法正确的是(
A.l 是线段 EH 的垂直平分线
B.l 是线段 EQ 的垂直平分线
C.l 是线段 FH 的垂直平分线
D.EH 是直线 l 的垂直平分线
]
A
).A.l 是线段 EH 的垂直平分线
B.l 是线段 EQ 的垂直平分线
C.l 是线段 FH 的垂直平分线
D.EH 是直线 l 的垂直平分线
]
答案：A
8. 如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 上,点 E 在 BC 上,DE 垂直平分 AB. 若∠B= ∠C,且∠EAC＞90°,则根据图中标示的角,下列叙述正确的是(
A.∠1= ∠2,∠1＞∠3
B.∠1= ∠2,∠1＜∠3
C.∠1≠∠2,∠1＜∠3
D.∠1≠∠2,∠1＞∠3
]
A
).A.∠1= ∠2,∠1＞∠3
B.∠1= ∠2,∠1＜∠3
C.∠1≠∠2,∠1＜∠3
D.∠1≠∠2,∠1＞∠3
]
答案：A [解析]
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=∠ADE，BE=AE，
易得∠B=∠BAE，
∴∠1=∠2.
∵∠EAC＞90°，
∴∠3+∠C＜90°.
∵∠B+∠1=90°，∠B=∠C，
∴∠1＞∠3.故选A.
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=∠ADE，BE=AE，
易得∠B=∠BAE，
∴∠1=∠2.
∵∠EAC＞90°，
∴∠3+∠C＜90°.
∵∠B+∠1=90°，∠B=∠C，
∴∠1＞∠3.故选A.