9. 证明：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段 AB 外一点 P,且 PA= PB.
求证：P 在线段 AB 的垂直平分线上.
]
已知：线段 AB 外一点 P,且 PA= PB.
求证：P 在线段 AB 的垂直平分线上.
]
答案：
如图，过点P作PD⊥AB于点D，
则∠PDA=∠PDB=90°.
在Rt△PDA和Rt△PDB中，
$\left\{ \begin{array}{l} PA=PB, \\ PD=PD, \end{array} \right.$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)，
∴AD=BD.
∵PD⊥AB，
∴PD垂直平分AB，即P在线段AB的垂直平分线上.
如图，过点P作PD⊥AB于点D，
则∠PDA=∠PDB=90°.
在Rt△PDA和Rt△PDB中，
$\left\{ \begin{array}{l} PA=PB, \\ PD=PD, \end{array} \right.$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL)，
∴AD=BD.
∵PD⊥AB，
∴PD垂直平分AB，即P在线段AB的垂直平分线上.
10. (2025·苏州工业园区期中)如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为线段 CE 的中点,BE= AC.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠B= 25°,求∠C 的度数.
]
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠B= 25°,求∠C 的度数.
]
答案：
(1)如图，连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵BE=AC，
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点，
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中，$\left\{ \begin{array}{l} AE=AC, \\ AD=AD, \\ DE=DC, \end{array} \right.$
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠ADE=∠ADC=90°.
(2)
∵AE=BE，∠B=25°，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠EBA=50°.
∴∠C=∠AED=50°.
思路引导 本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
(1)如图，连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵BE=AC，
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点，
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中，$\left\{ \begin{array}{l} AE=AC, \\ AD=AD, \\ DE=DC, \end{array} \right.$
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠ADE=∠ADC=90°.
(2)
∵AE=BE，∠B=25°，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠EBA=50°.
∴∠C=∠AED=50°.
思路引导 本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
11. 如图,在△ABC 中,边 AB 的垂直平分线$ l_1$交 BC 于点 D,边 AC 的垂直平分线$ l_2$交 BC 于点$ E,l_1$与$ l_2$相交于点 O,连接 OB,OC. 若△ADE 的周长为 12 cm,△OBC 的周长为 32 cm.
(1)求线段 BC 的长；
(2)连接 OA,求线段 OA 的长；
(3)若∠BAC= n°(n＞90),直接写出∠DAE 的度数.
]
(1)求线段 BC 的长；
(2)连接 OA,求线段 OA 的长；
(3)若∠BAC= n°(n＞90),直接写出∠DAE 的度数.
]
答案：
(1)
∵$l_1$是边AB的垂直平分线，
∴DA=DB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线，
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12cm，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12cm.
(2)如图，连接OA.
∵$l_1$是边AB的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线，
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=32cm，BC=12cm，
∴OA=OB=OC=10cm.
(3)∠DAE=2n°-180°.
→运用三角形内角和定理和中垂线定理证明即可
(1)
∵$l_1$是边AB的垂直平分线，
∴DA=DB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线，
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12cm，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12cm.
(2)如图，连接OA.
∵$l_1$是边AB的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线，
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=32cm，BC=12cm，
∴OA=OB=OC=10cm.
(3)∠DAE=2n°-180°.
→运用三角形内角和定理和中垂线定理证明即可
12. (2023·台湾中考)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,且 BD 的垂直平分线与 AB 相交于点 E,CD 的垂直平分线与 AC 相交于点 F,已知△ABC 的三个内角皆不相等,根据图中标示的角,判断下列叙述何者正确(
A.∠1= ∠3,∠2= ∠4
B.∠1= ∠3,∠2≠∠4
C.∠1≠∠3,∠2= ∠4
D.∠1≠∠3,∠2≠∠4
]
C
).A.∠1= ∠3,∠2= ∠4
B.∠1= ∠3,∠2≠∠4
C.∠1≠∠3,∠2= ∠4
D.∠1≠∠3,∠2≠∠4
]
答案：C [解析]
∵BD的垂直平分线与AB相交于点E，CD的垂直平分线与AC相交于点F，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠B=∠EDB，∠FDC=∠C.
∵∠1=∠B+∠EDB，∠3=∠FDC+∠C，∠B≠∠C，
∴∠1≠∠3.
∵∠4=180°−∠B−∠C，∠2=180°−∠EDB−∠FDC，
∴∠2=∠4.
综上所述，∠1≠∠3，∠2=∠4.故选C.
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
∵BD的垂直平分线与AB相交于点E，CD的垂直平分线与AC相交于点F，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠B=∠EDB，∠FDC=∠C.
∵∠1=∠B+∠EDB，∠3=∠FDC+∠C，∠B≠∠C，
∴∠1≠∠3.
∵∠4=180°−∠B−∠C，∠2=180°−∠EDB−∠FDC，
∴∠2=∠4.
综上所述，∠1≠∠3，∠2=∠4.故选C.
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
13. (2023·青海中考)如图,在△ABC 中,DE 是 BC 的垂直平分线. 若 AB= 5,AC= 8,则△ABD 的周长是
13
.答案：13 [解析]
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AC=AD+CD=AD+BD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13.
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AC=AD+CD=AD+BD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13.