1. 教材 P36 练习 T1·变式 到三角形三个顶点距离都相等的点是(
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三边垂直平分线的交点
C.三角形的三条高线的交点
D.三角形的三条中线的交点
B
).A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三边垂直平分线的交点
C.三角形的三条高线的交点
D.三角形的三条中线的交点
答案：B [解析]
∵到三角形一边的两端点距离相等的点在该边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,故选B
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键
∵到三角形一边的两端点距离相等的点在该边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,故选B
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键
2.(2025·南京第五十中学月考)如图,P 为△ABC 内一点,过点 P 的线段 MN 分别交 AB,BC 于点 M,N,且 M,N 分别在 PA,PC 的中垂线上. 若∠ABC= 80°,则∠APC 的度数为(
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
]
C
).A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
]
答案：C [解析]
∵∠ABC=80°,
∴∠BMN+∠BNM=180°−80°=100°.
∵M,N分别在PA,PC的中垂线上,
∴MA=MP,NC=NP,
∴∠MPA=∠MAP、∠NPC=∠NCP,
∴∠MPA+∠NPC=$\frac{1}{2}$(∠BMN+∠BNM)=50°,
∴∠APC=180°−50°=130°.故选C;
∵∠ABC=80°,
∴∠BMN+∠BNM=180°−80°=100°.
∵M,N分别在PA,PC的中垂线上,
∴MA=MP,NC=NP,
∴∠MPA=∠MAP、∠NPC=∠NCP,
∴∠MPA+∠NPC=$\frac{1}{2}$(∠BMN+∠BNM)=50°,
∴∠APC=180°−50°=130°.故选C;
3. 教材 P36 例 1·变式 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,且 BC= CD+AD,则点 D 在线段
AB
的垂直平分线上.答案：AB [解析]
∵BC=CD+AD,BC=CD+BD,
∴AD=BD,
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
∵BC=CD+AD,BC=CD+BD,
∴AD=BD,
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
4. 已知：如图,AB= AC,DB= DC,点 E 在 AD 上,求证：EB= EC.
]
]
答案：
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上,
∴EB=EC.
思路引导 本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键,
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上,
∴EB=EC.
思路引导 本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键,
5. 下列说法错误的是(
A.若点 P 是线段 AB 的垂直平分线上的点,则 PA= PB
B.若 PA= PB,QA= QB,P,Q 为不同的点,则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线
C.若 PA= PB,则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
D.若 PA= PB,则过点 P 的直线是线段 AB 的垂直平分线
D
).A.若点 P 是线段 AB 的垂直平分线上的点,则 PA= PB
B.若 PA= PB,QA= QB,P,Q 为不同的点,则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线
C.若 PA= PB,则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
D.若 PA= PB,则过点 P 的直线是线段 AB 的垂直平分线
答案：D [解析]A.若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA=PB,该说法正确，不符合题意;
B.若PA=PB,QA=QB,P,Q为不同的点,则直线PQ 是线段AB的垂直平分线，该说法正确，不符合题意;
C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上,该说法正确，不符合题意;
D.若PA=PB,则过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线，该说法错误，符合题意,故选D.
B.若PA=PB,QA=QB,P,Q为不同的点,则直线PQ 是线段AB的垂直平分线，该说法正确，不符合题意;
C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上,该说法正确，不符合题意;
D.若PA=PB,则过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线，该说法错误，符合题意,故选D.
6.(2025·常州期中)如图,在△ABC 中,PM,QN 分别是线段 AB,AC 的垂直平分线,若∠BAC= 110°,则∠PAQ 的度数是(
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
]
A
).A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
]
答案：A [解析]
∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=70°.
∵PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,
∴AP=BP,CQ=AQ,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°.
∵∠BAC=110°,
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=110°−70°=40°.故选A.
思路引导 本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP=BP和AQ=CQ是解此题的关键，注意;①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②三角形内角和等于180°.
∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=70°.
∵PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,
∴AP=BP,CQ=AQ,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°.
∵∠BAC=110°,
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=110°−70°=40°.故选A.
思路引导 本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP=BP和AQ=CQ是解此题的关键，注意;①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②三角形内角和等于180°.
7.(2024·河北保定莲池区期末)如图,直线 l,m 相交于点 O,P 为这两直线外一点,且 OP= 2.8. 若点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点$ P_1,P_2,$则$ P_1,P_2 $之间的距离可能是( ).
A.0
B.5
C.6
D.7
]
A.0
B.5
C.6
D.7
]
答案：
B [解析]如图,连接OP₁,OP₂,P₁P₂,
∵点P关于直线l,m的对称点分别是点P₁,P₂,
∴OP₁=OP=2.8,OP₂=OP=2.8.
∵OP₁+OP₂＞P₁P₂＞0,
∴0＜P₁P₂＜5.6.故选B.
B [解析]如图,连接OP₁,OP₂,P₁P₂,
∵点P关于直线l,m的对称点分别是点P₁,P₂,
∴OP₁=OP=2.8,OP₂=OP=2.8.
∵OP₁+OP₂＞P₁P₂＞0,
∴0＜P₁P₂＜5.6.故选B.
8.(2024·浙江湖州南浔区期中)如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 D,E,AC 的垂直平分线分别交 AC,BC 于点 F,G,若∠B= 52°,∠C= 30°,则∠EAG 的度数为(
A.12°
B.14°
C.16°
D.18°
C
).A.12°
B.14°
C.16°
D.18°
答案：C [解析]
∵∠B=52°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°−52°−30°=98°.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∠EDA=∠EDB=90°.
又DE=DE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL),
∴∠EAB=∠B=52°.
同理可得∠GAC=∠C=30°,
∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=82°,
∴∠EAG=98°−82°=16°.故选C.
∵∠B=52°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°−52°−30°=98°.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∠EDA=∠EDB=90°.
又DE=DE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL),
∴∠EAB=∠B=52°.
同理可得∠GAC=∠C=30°,
∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=82°,
∴∠EAG=98°−82°=16°.故选C.