1. 给出下列四个说法：①任何图形都有对称轴；②等腰三角形属于轴对称图形；③若△ABC与△A′B′C′关于直线m对称,则△ABC与△A′B′C′全等；④角的对称轴是角的平分线. 其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
①错误，例如不规则四边形没有对称轴；②正确，等腰三角形沿底边上的高所在直线对称；③正确，成轴对称的两个三角形全等；④错误，角的对称轴是角的平分线所在的直线。正确的有②③，共2个。
B
B
2.(2024·南通期中)如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与△CDE的周长分别为13和3,则AB的长为(
A.10
B.16
C.8
D.5
]
D
).A.10
B.16
C.8
D.5
]
答案：D [解析]
∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD=DE. 在Rt△ABD和Rt△EBD中，{BD=BD，AD=ED}，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE.
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13，DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3，
∴AB+BE=10，
∴AB=BE=5. 故选D.
∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD=DE. 在Rt△ABD和Rt△EBD中，{BD=BD，AD=ED}，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE.
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13，DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3，
∴AB+BE=10，
∴AB=BE=5. 故选D.
3. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠BAC交BC于点D,AB= 10,S△ABD= 15,则CD的长为( ).
A.3
B.4
C.5
D.6
]
A.3
B.4
C.5
D.6
]
答案：
A [解析]如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×10DE=15， 解得DE=3，
∴CD=3.故选A.
A [解析]如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×10DE=15， 解得DE=3，
∴CD=3.故选A.
4.(2025·常州武进区期中)如图,AC平分∠BAD,CD⊥AD于点D,CE⊥AB于点E,点F在AD上,点E在AB上,且CF= CB.
(1)求证：BE= DF；
(2)若CE= 6,AD= 8,求四边形ABCF的面积.
]
(1)求证：BE= DF；
(2)若CE= 6,AD= 8,求四边形ABCF的面积.
]
答案：
(1)
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE.
∵∠D=∠CEB=∠CEA=90°. 在Rt△CDF和Rt△CEB中，{CF=CB，CD=CE}，
∴Rt△CDF≌Rt△CEB(HL)，
∴BE=DF.
(2)
∵Rt△CDF≌Rt△CEB，
∴S△CDF=S△CEB，
∴四边形ABCF的面积=四边形AECD的面积，在Rt△AEC和Rt△ADC中，{AC=AC，CD=CE}，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC(HL)，
∴S△AEC=S△ADC.
∵S△ADC=$\frac{1}{2}$AD·CD=24，
∴S四边形ABCF=2S△ADC=48. 归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键
(1)
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE.
∵∠D=∠CEB=∠CEA=90°. 在Rt△CDF和Rt△CEB中，{CF=CB，CD=CE}，
∴Rt△CDF≌Rt△CEB(HL)，
∴BE=DF.
(2)
∵Rt△CDF≌Rt△CEB，
∴S△CDF=S△CEB，
∴四边形ABCF的面积=四边形AECD的面积，在Rt△AEC和Rt△ADC中，{AC=AC，CD=CE}，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC(HL)，
∴S△AEC=S△ADC.
∵S△ADC=$\frac{1}{2}$AD·CD=24，
∴S四边形ABCF=2S△ADC=48. 归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键
5. 如图,△AOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P,PE⊥OC于点E,PF⊥OD于点F. 下列结论：①PE= PF；②点P在∠COD的平分线上；③∠APB= 90°-∠O. 其中正确的有( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
]
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
]
答案：
C [解析]①如图，过点P作PH⊥AB于点H.
∵AP是∠CAB的平分线，且PH⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PH.
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF=PH，
∴PE=PF，
∴①正确; ②由①可知PE=PF， 又PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴②正确; ③
∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP=360°， 又∠OEP+∠OFP=90°+90°=180°，
∴∠O+∠EPF=180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB=180°.
∵PE=PH，PA=PA，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴△PEA≌△PHA(HL)，
∴∠EPA=∠HPA. 同理，∠FPB=∠HPB，
∴∠O+2(∠HPA+∠HPB)=180°， 即∠O+2∠APB=180°，
∴∠APB=90°−$\frac{1}{2}$∠O.
∴③错误.故选C;
C [解析]①如图，过点P作PH⊥AB于点H.
∵AP是∠CAB的平分线，且PH⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PH.
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF=PH，
∴PE=PF，
∴①正确; ②由①可知PE=PF， 又PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴②正确; ③
∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP=360°， 又∠OEP+∠OFP=90°+90°=180°，
∴∠O+∠EPF=180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB=180°.
∵PE=PH，PA=PA，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴△PEA≌△PHA(HL)，
∴∠EPA=∠HPA. 同理，∠FPB=∠HPB，
∴∠O+2(∠HPA+∠HPB)=180°， 即∠O+2∠APB=180°，
∴∠APB=90°−$\frac{1}{2}$∠O.
∴③错误.故选C;
6. 教材P38例2·变式 如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,连接OA,OB,OC,若△OAB,△OBC,△OAC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是( ).
A.S1＞S2＋S3
B.S1＝S2＋S3
C.S1＜S2＋S3
D.无法确定
]
A.S1＞S2＋S3
B.S1＝S2＋S3
C.S1＜S2＋S3
D.无法确定
]
答案：
C [解析]如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF.
∵S1=$\frac{1}{2}$AB·OD，S2+S3=$\frac{1}{2}$BC·OE+$\frac{1}{2}$AC·OF=$\frac{1}{2}$OD·(BC+AC)，又AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3.故选C. 归纳总结 本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型.
C [解析]如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF.
∵S1=$\frac{1}{2}$AB·OD，S2+S3=$\frac{1}{2}$BC·OE+$\frac{1}{2}$AC·OF=$\frac{1}{2}$OD·(BC+AC)，又AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3.故选C. 归纳总结 本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型.
7.(2024·盐城大丰区期中)如图,点P是∠ACB的平分线CD上一点,PE⊥BC于点E,点F为射线CA上一点. 若PE= 6,则PF长的最小值是(
A.4
B.5.5
C.6
D.8
]
C
).A.4
B.5.5
C.6
D.8
]
答案：C [解析]
∵点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，PE=6， 当PF⊥AC时，PF最短=PE=6. 垂线段最短 故选C; 归纳总结 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键
∵点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，PE=6， 当PF⊥AC时，PF最短=PE=6. 垂线段最短 故选C; 归纳总结 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键
8. 若△ABC的周长为41 cm,边BC= 17 cm,且AB＜AC,角平分线AD将△ABC的面积分成3∶5的两部分,则AB等于______cm.
答案：
9 [解析]如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵AD将△ABC分为面积比为3:5的两部分，
∴AB:AC=3:5. 又△ABC的周长为41cm，BC=17cm，
∴AB+AC=41−17=24(cm). 设AB=3xcm，AC=5xcm，则3x+5x=24， 解得x=3，则AB=3x=9cm.
9 [解析]如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵AD将△ABC分为面积比为3:5的两部分，
∴AB:AC=3:5. 又△ABC的周长为41cm，BC=17cm，
∴AB+AC=41−17=24(cm). 设AB=3xcm，AC=5xcm，则3x+5x=24， 解得x=3，则AB=3x=9cm.
9. 教材P37问题2·变式(2025·南京联合体期中)证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图,点P在∠AOB内,______,______,______.
求证：______.
证明：
]
已知：如图,点P在∠AOB内,______,______,______.
求证：______.
证明：
]
答案：
已知：PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD；求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：如图，连接OP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP=∠ODP=90°.
在Rt△POC和Rt△POD中，{PC=PD，PO=PO}，
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴点P在∠AOB的平分线上. 归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义、垂直的定义是解决问题的关键
已知：PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD；求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：如图，连接OP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP=∠ODP=90°.
在Rt△POC和Rt△POD中，{PC=PD，PO=PO}，∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴点P在∠AOB的平分线上. 归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义、垂直的定义是解决问题的关键