10.(2025·河南许昌禹州期中)在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图(1),当点D是边BC的中点时,S△ABD∶S△ACD= ______；
(2)如图(2),当AD平分∠BAC时,若AB= m,AC= n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的式子表示)；
(3)如图(3),AD平分∠BAC,延长AD到点E使得AD= DE,连接BE,若AC= 3,AB= 5,S△BDE= 10,求S△ABC的值.
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(1)如图(1),当点D是边BC的中点时,S△ABD∶S△ACD= ______；
(2)如图(2),当AD平分∠BAC时,若AB= m,AC= n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的式子表示)；
(3)如图(3),AD平分∠BAC,延长AD到点E使得AD= DE,连接BE,若AC= 3,AB= 5,S△BDE= 10,求S△ABC的值.
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答案：
(1)1:1 [解析]如图
(1)，过点A作AE⊥BC于点E.
∵点D是边BC上的中点，
∴BD=DC，
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$BD·AE):($\frac{1}{2}$CD·AE)=1:1.
(2)如图
(2)，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF.
∵AB=m，AC=n，
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$AB·DE):($\frac{1}{2}$AC·DF)=m:n.
(3)
∵AD=DE，
∴由
(1)知，S△ABD:S△EBD=1:1.
∵S△BDE=10，
∴S△ABD=10.
∵AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，
∴由
(2)知，S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3，
∴S△ACD=6，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=10+6=16.
(1)1:1 [解析]如图
(1)，过点A作AE⊥BC于点E.
∵点D是边BC上的中点，
∴BD=DC，
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$BD·AE):($\frac{1}{2}$CD·AE)=1:1.
(2)如图
(2)，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF.
∵AB=m，AC=n，
∴S△ABD:S△ACD=($\frac{1}{2}$AB·DE):($\frac{1}{2}$AC·DF)=m:n.
(3)
∵AD=DE，
∴由
(1)知，S△ABD:S△EBD=1:1.
∵S△BDE=10，
∴S△ABD=10.
∵AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，
∴由
(2)知，S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3，
∴S△ACD=6，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=10+6=16.
11. 在四边形ABCD中,CE平分∠BCD交AD于点E,点F在线段CE上运动.
(1)如图(1),已知∠A= ∠D= 90°.
①若BF平分∠ABC,则∠BFC= ______；
②若∠BFC= 90°,试说明$∠DEC= \frac{1}{2}∠ABC.(2)$如图(2),已知∠A= ∠D= ∠BFC,试说明BF平分∠ABC.
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(1)如图(1),已知∠A= ∠D= 90°.
①若BF平分∠ABC,则∠BFC= ______；
②若∠BFC= 90°,试说明$∠DEC= \frac{1}{2}∠ABC.(2)$如图(2),已知∠A= ∠D= ∠BFC,试说明BF平分∠ABC.
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答案：
(1)①90°②
∵∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°.
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°.
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCF，
∴∠CBF=∠DEC.
∵∠A=∠D=90°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∠CBF+∠BCF=90°，
∴2∠CBF+2∠BCF=180°，
∴2∠CBF+∠BCD=180°，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠DEC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(2)如图，延长BF交AD于点M.
∵∠BFC=∠D，∠BFC+∠CFM=180°，
∴∠CFM+∠D=180°，
∴∠FMD+∠DCF=180°.
∵∠FMD+∠EMF=180°，
∴∠DCF=∠EMF.
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCF=∠EMF.
∵∠EFM=∠BFC，
∴∠FEM=∠CBF.
∵∠CFB=∠EFM=∠A，∠EFM+∠EMF+∠FEM=180°，∠A+∠AMB+∠ABF=180°，
∴∠FEM=∠ABF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC.
(1)①90°②
∵∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°.
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°.
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCF，
∴∠CBF=∠DEC.
∵∠A=∠D=90°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∠CBF+∠BCF=90°，
∴2∠CBF+2∠BCF=180°，
∴2∠CBF+∠BCD=180°，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠DEC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(2)如图，延长BF交AD于点M.
∵∠BFC=∠D，∠BFC+∠CFM=180°，
∴∠CFM+∠D=180°，
∴∠FMD+∠DCF=180°.
∵∠FMD+∠EMF=180°，
∴∠DCF=∠EMF.
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCF=∠EMF.
∵∠EFM=∠BFC，
∴∠FEM=∠CBF.
∵∠CFB=∠EFM=∠A，∠EFM+∠EMF+∠FEM=180°，∠A+∠AMB+∠ABF=180°，
∴∠FEM=∠ABF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC.
12.(2024·绵阳中考)如图,在△ABC中,AB= 5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为( ).
A.1
B.2
C.3
D.5
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A.1
B.2
C.3
D.5
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答案：
B [解析]如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF.
∵△ABD的面积为5，
∴$\frac{1}{2}$AB·DF=5.
∵AB=5，
∴DF=2，
∴DE=2.故选B
B [解析]如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF.
∵△ABD的面积为5，
∴$\frac{1}{2}$AB·DF=5.
∵AB=5，
∴DF=2，
∴DE=2.故选B