10.(2025·南京中华中学附中期中)如图,在△ABC 中,AB= AC,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 AD= AE,BE,CD 相交于点 O. 求证：
(1)△ABE≌△ACD；
(2)OB= OC.
(1)△ABE≌△ACD；
(2)OB= OC.
答案：
(1)在△ABE和△ACD中，{AB = AC，∠BAE = ∠CAD，AE = AD}，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE = ∠ACD.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD，
∴∠OBC = ∠OCB，
∴OB = OC.
(1)在△ABE和△ACD中，{AB = AC，∠BAE = ∠CAD，AE = AD}，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE = ∠ACD.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD，
∴∠OBC = ∠OCB，
∴OB = OC.
11. 如图,∠ABC= ∠ADC= 90°,点 O 是线段 AC 的中点.
(1)求证：OB= OD；
(2)若∠ACD= 30°,OB= 6,求△AOD 的周长.
(1)求证：OB= OD；
(2)若∠ACD= 30°,OB= 6,求△AOD 的周长.
答案：
(1)
∵∠ABC = ∠ADC = 90°，点O是AC的中点，
∴OB = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$AC，
∴OB = OD.
(2)
∵∠ACD = 30°，∠ADC = 90°，
∴∠DAO = 90° - ∠ACD = 60°.
∵∠ADC = 90°，点O是AC的中点，
∴OD = $\frac{1}{2}$AC = OA，
∴△AOD是等边三角形.由
(1)，得OD = OB = 6，
∴△AOD的周长 = 3OD = 3×6 = 18.
(1)
∵∠ABC = ∠ADC = 90°，点O是AC的中点，
∴OB = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$AC，
∴OB = OD.
(2)
∵∠ACD = 30°，∠ADC = 90°，
∴∠DAO = 90° - ∠ACD = 60°.
∵∠ADC = 90°，点O是AC的中点，
∴OD = $\frac{1}{2}$AC = OA，
∴△AOD是等边三角形.由
(1)，得OD = OB = 6，
∴△AOD的周长 = 3OD = 3×6 = 18.
12. 在△ABC 中,已知∠A= 90°,AB= AC,D 为 BC 的中点.
(1)如图,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BE= AF,则△DEF 为等腰直角三角形吗？请说明理由.
(2)若 E,F 分别为 AB,CA 延长线上的点,仍有 BE= AF,其他条件不变,那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？若是,请说明理由.
(1)如图,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BE= AF,则△DEF 为等腰直角三角形吗？请说明理由.
(2)若 E,F 分别为 AB,CA 延长线上的点,仍有 BE= AF,其他条件不变,那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？若是,请说明理由.
答案：
(1)△DEF是等腰直角三角形.理由如下：连接AD.
∵AB = AC，∠BAC = 90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD = AD，
∴∠B = ∠DAB = ∠DAC = 45°.又BE = AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴ED = FD，∠BDE = ∠ADF，
∴∠EDF = ∠EDA + ∠ADF = ∠EDA + ∠BDE = ∠BDA = 90°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接AD.
∵AB = AC，∠BAC = 90°，D为BC的中点，
∴AD = BD，AD⊥BC，
∴∠DAC = ∠ABD = 45°，
∴∠DAF = ∠DBE = 135°.又AF = BE，
∴△DAF≌△DBE(SAS)，
∴FD = ED，∠FDA = ∠EDB，
∴∠EDF = ∠EDB + ∠FDB = ∠FDA + ∠FDB = ∠ADB = 90°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
(1)△DEF是等腰直角三角形.理由如下：连接AD.
∵AB = AC，∠BAC = 90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD = AD，
∴∠B = ∠DAB = ∠DAC = 45°.又BE = AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴ED = FD，∠BDE = ∠ADF，
∴∠EDF = ∠EDA + ∠ADF = ∠EDA + ∠BDE = ∠BDA = 90°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接AD.
∵AB = AC，∠BAC = 90°，D为BC的中点，
∴AD = BD，AD⊥BC，
∴∠DAC = ∠ABD = 45°，
∴∠DAF = ∠DBE = 135°.又AF = BE，
∴△DAF≌△DBE(SAS)，
∴FD = ED，∠FDA = ∠EDB，
∴∠EDF = ∠EDB + ∠FDB = ∠FDA + ∠FDB = ∠ADB = 90°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
13.(2024·巴中中考)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,CE⊥AB,BD 与 CE 交于点 O,且 BE= CD. 下列说法错误的是(
A.BD 的垂直平分线一定与 AB 相交于点 E
B.∠BDC= 3∠ABD
C.当 E 为 AB 中点时,△ABC 是等边三角形
D.当 E 为 AB 中点时,$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}= \frac{3}{4}$
D
).A.BD 的垂直平分线一定与 AB 相交于点 E
B.∠BDC= 3∠ABD
C.当 E 为 AB 中点时,△ABC 是等边三角形
D.当 E 为 AB 中点时,$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}= \frac{3}{4}$
答案：D