1. 如图,在△ABC中,AB= AC,D是边BC的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.试说明：
(1)PE= PF；
(2)PB= PC.
(1)PE= PF；
(2)PB= PC.
答案：1.
(1)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD平分∠BAC.又PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F，
∴PE=PF.
(2)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC.
又P是AD上任意一点，
∴PB=PC.
方法诠释 解答本题需要应用到等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质.
(1)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD平分∠BAC.又PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F，
∴PE=PF.
(2)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC.
又P是AD上任意一点，
∴PB=PC.
方法诠释 解答本题需要应用到等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质.
2.(2024·山东日照东港区期末)如图,在△ABC中,AC＞BC,∠A= 45°,点D是AB边上一点,且CD= CB,过点B作BF⊥CD于点E,与AC交于点F.
(1)求证：$∠ABF= \frac{1}{2}∠BCD；$
(2)判断△BCF的形状,并说明理由.
(1)求证：$∠ABF= \frac{1}{2}∠BCD；$
(2)判断△BCF的形状,并说明理由.
答案：
2.
(1)如图,过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG=90°.
∵BC=DC，
∴∠BCG=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG=90°，
∴∠ABF=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
(2)△BCF是等腰三角形.理由如下：
∵∠A=45°,CG⊥AB,
∴∠ACG=45°.
∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF，
∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF.
∵∠BCG=∠DCG=∠ABF,
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF,
∴△BCF是等腰三角形.
2.
(1)如图,过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG=90°.
∵BC=DC，
∴∠BCG=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG=90°，
∴∠ABF=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
(2)△BCF是等腰三角形.理由如下：
∵∠A=45°,CG⊥AB,
∴∠ACG=45°.
∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF，
∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF.
∵∠BCG=∠DCG=∠ABF,
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF,
∴△BCF是等腰三角形.
3. 如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AC平分∠DAB,CB⊥AB,CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证：△ACD是等腰三角形；
(2)连接BE,求证：AC垂直平分BE.
(1)求证：△ACD是等腰三角形；
(2)连接BE,求证：AC垂直平分BE.
答案：3.
(1)
∵AB//DC,
∴∠DCA=∠CAB.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形.
(2)
∵AC是∠EAB的平分线,CE⊥AE,CB⊥AB，
∴CE=CB,∠CEA=∠CBA=90°.
又AC=AC,
∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，
∴AE=AB,
∴点A,C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE.
(1)
∵AB//DC,
∴∠DCA=∠CAB.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形.
(2)
∵AC是∠EAB的平分线,CE⊥AE,CB⊥AB，
∴CE=CB,∠CEA=∠CBA=90°.
又AC=AC,
∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，
∴AE=AB,
∴点A,C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE.
4.(2024·北京海淀外国语实验学校期中)在△ABC中,BE平分∠ABC,交AC边于点E.
(1)如图(1),过点E作DE//BC,交AB于点D,求证：△BDE为等腰三角形；
(2)如图(2),若AB= AC,AF⊥BD,$∠ACD= \frac{1}{2}∠ABC,$判断BF,CD,DF的数量关系,并说明理由.
(1)如图(1),过点E作DE//BC,交AB于点D,求证：△BDE为等腰三角形；
(2)如图(2),若AB= AC,AF⊥BD,$∠ACD= \frac{1}{2}∠ABC,$判断BF,CD,DF的数量关系,并说明理由.
答案：
4.
(1)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED,
∴△DBE为等腰三角形.
(2)BF=CD+DF.理由如下:如图,延长CD到点M,使得CM=BD,连接AM,过点A作AN⊥CM于点N.
∵BE平分∠ABC,∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ACM=∠ABD.
在△ABD和△ACM中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠ABD=∠ACM,\\ BD=CM,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACM(SAS)，
∴AD=AM,∠ADB=∠AMC，
∴∠AMD=∠ADM,
∴∠ADF=∠ADN.
∵AN⊥DM,
∴DN=MN.
在△ADF和△ADN中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AFD=∠AND=90^{\circ },\\ ∠ADF=∠ADN,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ADF≌△ADN(AAS)，
∴DF=DN=MN.
∵BD=CM，
∴BF=BD-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF,即BF=CD+DF.
4.
(1)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED,
∴△DBE为等腰三角形.
(2)BF=CD+DF.理由如下:如图,延长CD到点M,使得CM=BD,连接AM,过点A作AN⊥CM于点N.
∵BE平分∠ABC,∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ACM=∠ABD.
在△ABD和△ACM中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠ABD=∠ACM,\\ BD=CM,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACM(SAS)，
∴AD=AM,∠ADB=∠AMC，
∴∠AMD=∠ADM,
∴∠ADF=∠ADN.
∵AN⊥DM,
∴DN=MN.
在△ADF和△ADN中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AFD=∠AND=90^{\circ },\\ ∠ADF=∠ADN,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ADF≌△ADN(AAS)，
∴DF=DN=MN.
∵BD=CM，
∴BF=BD-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF,即BF=CD+DF.