变式2.1 如图,已知$\triangle ABC$为等腰直角三角形,其中$\angle BAC = 90^\circ$,$AB = AC$,点$D为\triangle ABC$外一点,且$\angle BDA = 45^\circ$,$BD = 4$,求$\triangle BCD$的面积.
答案：
如图,过点A作AE⊥AD交BD于点E,连接CE,
则∠DAE=90°.
∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即CE⊥BD,
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$CE·BD=$\frac{1}{2}$×4×4=8.
如图,过点A作AE⊥AD交BD于点E,连接CE,
则∠DAE=90°.
∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即CE⊥BD,
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$CE·BD=$\frac{1}{2}$×4×4=8.
变式2.2 如图,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^\circ$,若$\angle CDB = 45^\circ$,$AE // BD$,$CE \perp CD$,求证：$AE = BD$.
答案：
延长DC交AE于点F,连接BF,如图.
∵AE//BD,
∴∠EFC=∠BDC=45°.
∵EC⊥CD,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF.
∵∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AC=BC,
∴△CEA≌△CFB(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠E=45°=∠BDC,
∴BF=BD,
∴AE=BD.
延长DC交AE于点F,连接BF,如图.
∵AE//BD,
∴∠EFC=∠BDC=45°.
∵EC⊥CD,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF.
∵∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AC=BC,
∴△CEA≌△CFB(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠E=45°=∠BDC,
∴BF=BD,
∴AE=BD.
变式2.3 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^\circ$,点$D是\triangle ABC$外一点,$AC = BC$,$\angle BDC = 45^\circ$,连接$AD$,求证：$\angle BDA = 90^\circ$.
答案：
如图,作CE⊥CD,交BD于点E,
∴∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠DCE=90°,∠CDE=45°,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴CD=CE,∠CEB=135°.
∵AC=BC,
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CDA=∠CEB=135°,
∴∠ADB=135°-45°=90°.
如图,作CE⊥CD,交BD于点E,
∴∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠DCE=90°,∠CDE=45°,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴CD=CE,∠CEB=135°.
∵AC=BC,
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CDA=∠CEB=135°,
∴∠ADB=135°-45°=90°.
3.(2024·宜宾中考)如图,点$D$,$E分别是等边三角形ABC边BC$,$AC$上的点,且$BD = CE$,$BE与AD交于点F$. 求证：$AD = BE$.
答案：
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,{AB=BC,∠ABD=∠C,BD=CE}
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,{AB=BC,∠ABD=∠C,BD=CE}
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
变式3.1 如图,$AD是等边三角形ABC$的中线,$E$,$F分别为边AC和AD$上两个动点,且$AF = CE$. 当$BE + CF$最小时,求$\angle BEC$的度数.
答案：
如图
(1),作CH⊥BC,且CH=BC,连接BH交AC于点M,连接EH.
∵AD是等边三角形ABC的中线,
∴AC=BC、∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°-60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当M与E重合,即E为AC与BH的交点时，如图
(2),
BE+CF的值最小,
最短路径的实质是两点之间线段最短
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°-45°-60°=75°.
如图
(1),作CH⊥BC,且CH=BC,连接BH交AC于点M,连接EH.
∵AD是等边三角形ABC的中线,
∴AC=BC、∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°-60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当M与E重合,即E为AC与BH的交点时，如图
(2),
BE+CF的值最小,
最短路径的实质是两点之间线段最短
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°-45°-60°=75°.
变式3.2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 65^\circ$,$BD是AC$边上的高,点$E$,$F分别在AB$,$BD$上,且$AE = BF$,当$AF + CE$的值最小时,求$\angle AFD$的度数.
答案：
如图,过点A作AG⊥AC,使得AG=AB,连接GE.
∵BD⊥AC,GA⊥AC,
∴BD//AG,
∴∠ABF=∠GAE.
∵AG=BA,AE=BF,
∴△AGE≌△BAF(SAS),
∴AF=GE,
∴AF+CE=GE+CE,
∴当G,E,C三点共线时,AF+CE的最小值等于CG的长，此时,AG=AC,∠GAC=90°,即△ACG是等腰直角三角形,
∴∠G=45°=∠BAF.
∵Rt△ABD中,∠ABD=90°-65°=25°,
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=25°+45°=70°.
如图,过点A作AG⊥AC,使得AG=AB,连接GE.
∵BD⊥AC,GA⊥AC,
∴BD//AG,
∴∠ABF=∠GAE.
∵AG=BA,AE=BF,
∴△AGE≌△BAF(SAS),
∴AF=GE,
∴AF+CE=GE+CE,
∴当G,E,C三点共线时,AF+CE的最小值等于CG的长，此时,AG=AC,∠GAC=90°,即△ACG是等腰直角三角形,
∴∠G=45°=∠BAF.
∵Rt△ABD中,∠ABD=90°-65°=25°,
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=25°+45°=70°.