【例1】[全国初中数学竞赛(湖北武汉)预赛]如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC= CE,∠1= ∠2= ∠3,则DE的长等于(
A.DC
B.BC
C.AB
D.AE+AC
C
).A.DC
B.BC
C.AB
D.AE+AC
答案：解：
∵∠1+∠D=∠2+∠B，∠1=∠2，
∴∠D=∠B。
∵∠2=∠3，∠ACB=180°-∠2-∠ACF，∠ECD=180°-∠3-∠ACF，
∴∠ACB=∠ECD。
∵AC=CE，
∴△ABC≌△EDC（AAS）。
∴DE=AB。
答案：C
∵∠1+∠D=∠2+∠B，∠1=∠2，
∴∠D=∠B。
∵∠2=∠3，∠ACB=180°-∠2-∠ACF，∠ECD=180°-∠3-∠ACF，
∴∠ACB=∠ECD。
∵AC=CE，
∴△ABC≌△EDC（AAS）。
∴DE=AB。
答案：C
【例2】(第十七届江苏省初中数学竞赛)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB＞AD,下列结论中正确的是(
A.AB-AD＞CB-CD
B.AB-AD= CB-CD
C.AB-AD＜CB-CD
D.AB-AD与CB-CD的大小关系不确定
A
). A.AB-AD＞CB-CD
B.AB-AD= CB-CD
C.AB-AD＜CB-CD
D.AB-AD与CB-CD的大小关系不确定
答案：解：在AB上截取AE=AD，连接EC。
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC。
在△AEC和△ADC中，
AE=AD，∠EAC=∠DAC，AC=AC，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴EC=CD。
在△BEC中，BE＞CB-EC（三角形两边之差小于第三边）。
∵BE=AB-AE=AB-AD，EC=CD，
∴AB-AD＞CB-CD。
答案：A
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC。
在△AEC和△ADC中，
AE=AD，∠EAC=∠DAC，AC=AC，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴EC=CD。
在△BEC中，BE＞CB-EC（三角形两边之差小于第三边）。
∵BE=AB-AE=AB-AD，EC=CD，
∴AB-AD＞CB-CD。
答案：A
1. (全国初中数学联赛)在$\triangle ABC$中,已知AC= 5,中线AD= 4,则边AB的取值范围是(
A.1＜AB＜9
B.3＜AB＜13
C.5＜AB＜13
D.9＜AB＜13
B
).A.1＜AB＜9
B.3＜AB＜13
C.5＜AB＜13
D.9＜AB＜13
答案：B［解析］延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EC，则△ABD≌△ECD，
∴AB=EC.
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=8.在△ACE 中，AE - AC ＜ CE ＜ AE + AC，即 8 - 5 ＜ CE ＜ 8 + 5，
∴3 ＜ CE ＜ 13.
∴3 ＜ AB ＜ 13.故选 B.
∴AB=EC.
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=8.在△ACE 中，AE - AC ＜ CE ＜ AE + AC，即 8 - 5 ＜ CE ＜ 8 + 5，
∴3 ＜ CE ＜ 13.
∴3 ＜ AB ＜ 13.故选 B.
2. [全国初中数学竞赛(湖北荆州)预赛]在正方形ABCD中,$\angle MAN= 45^\circ,$$\angle MAN$绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.如果$\angle MAN$在如图(1)所示的位置时,有BM+DN= MN成立(不必证明).请问当$\angle MAN$绕点A旋转到如图(2)所示的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由.
答案：
DN - BM = MN.理由如下:
如图,在 DC 上截取 DE = BM,连接 AE.
在△ADE 和△ABM 中，
AD = AB，
∠D = ∠ABM，
DE = BM，
∴△ADE≌△ABM(SAS).
∴AE = AM，∠1 = ∠4.
∵∠1 + ∠2 = 45°，
∴∠2 + ∠4 = 45°，
∴∠3 = 45°，
∴∠MAN = ∠EAN.
在△AEN 和△AMN 中，
AE = AM，
∠EAN = ∠MAN，
AN = AN，
∴△AEN≌△AMN(SAS).
∴MN = EN，
∴MN = EN = DN - DE = DN - BM.
DN - BM = MN.理由如下:
如图,在 DC 上截取 DE = BM,连接 AE.
在△ADE 和△ABM 中，
AD = AB，
∠D = ∠ABM，
DE = BM，
∴△ADE≌△ABM(SAS).
∴AE = AM，∠1 = ∠4.
∵∠1 + ∠2 = 45°，
∴∠2 + ∠4 = 45°，
∴∠3 = 45°，
∴∠MAN = ∠EAN.
在△AEN 和△AMN 中，
AE = AM，
∠EAN = ∠MAN，
AN = AN，
∴△AEN≌△AMN(SAS).
∴MN = EN，
∴MN = EN = DN - DE = DN - BM.