【例1】对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为$x*y= \frac{3x^{3}y+3x^{2}y^{2}+xy^{3}+45}{(x+1)^{3}+(y+1)^{3}-60}$,且$x*y*z= (x*y)*z$,则$2025*2024*…*3*2$的值为(
A.$\frac{607}{967}$
B.$\frac{1821}{967}$
C.$\frac{5463}{967}$
D.$\frac{16389}{967}$
解析:设$2025*2024*…*4= m$,
则$(2025*2024*…*4)*3= m*3= \frac{3m^{3}×3+3m^{2}×9+m×27+45}{m^{3}+3m^{2}+3m+1+64-60}= 9$,
$\therefore(2025*2024*…*3)*2= 9*2= \frac{3×9^{3}×2+3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{10^{3}+3^{3}-60}= \frac{5463}{967}$.
答案:C
C
).A.$\frac{607}{967}$
B.$\frac{1821}{967}$
C.$\frac{5463}{967}$
D.$\frac{16389}{967}$
解析:设$2025*2024*…*4= m$,
则$(2025*2024*…*4)*3= m*3= \frac{3m^{3}×3+3m^{2}×9+m×27+45}{m^{3}+3m^{2}+3m+1+64-60}= 9$,
$\therefore(2025*2024*…*3)*2= 9*2= \frac{3×9^{3}×2+3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{10^{3}+3^{3}-60}= \frac{5463}{967}$.
答案:C
答案：解：设$2025*2024*\dots*4 = m$，
则$(2025*2024*\dots*4)*3 = m*3$
$\begin{aligned}m*3&=\frac{3m^{3}×3 + 3m^{2}×3^{2}+m×3^{3}+45}{(m + 1)^{3}+(3 + 1)^{3}-60}\\&=\frac{9m^{3}+27m^{2}+27m + 45}{m^{3}+3m^{2}+3m + 1 + 64 - 60}\\&=\frac{9(m^{3}+3m^{2}+3m + 5)}{m^{3}+3m^{2}+3m + 5}\\&=9\end{aligned}$
$\therefore(2025*2024*\dots*3)*2 = 9*2$
$\begin{aligned}9*2&=\frac{3×9^{3}×2+3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{(9 + 1)^{3}+(2 + 1)^{3}-60}\\&=\frac{3×729×2+3×81×4+9×8 + 45}{1000 + 27 - 60}\\&=\frac{4374+972 + 72 + 45}{967}\\&=\frac{5463}{967}\end{aligned}$
答案：C
则$(2025*2024*\dots*4)*3 = m*3$
$\begin{aligned}m*3&=\frac{3m^{3}×3 + 3m^{2}×3^{2}+m×3^{3}+45}{(m + 1)^{3}+(3 + 1)^{3}-60}\\&=\frac{9m^{3}+27m^{2}+27m + 45}{m^{3}+3m^{2}+3m + 1 + 64 - 60}\\&=\frac{9(m^{3}+3m^{2}+3m + 5)}{m^{3}+3m^{2}+3m + 5}\\&=9\end{aligned}$
$\therefore(2025*2024*\dots*3)*2 = 9*2$
$\begin{aligned}9*2&=\frac{3×9^{3}×2+3×9^{2}×2^{2}+9×2^{3}+45}{(9 + 1)^{3}+(2 + 1)^{3}-60}\\&=\frac{3×729×2+3×81×4+9×8 + 45}{1000 + 27 - 60}\\&=\frac{4374+972 + 72 + 45}{967}\\&=\frac{5463}{967}\end{aligned}$
答案：C
【例2】(全国初中数学竞赛)已知$a= \sqrt{5}-1$,则$2a^{3}+7a^{2}-2a-12$的值等于
0
.答案：解：∵$a = \sqrt{5} - 1$，
∴$a + 1 = \sqrt{5}$，
两边平方得$(a + 1)^2 = 5$，即$a^2 + 2a + 1 = 5$，
∴$a^2 + 2a = 4$。
$2a^3 + 7a^2 - 2a - 12$
$= 2a^3 + 4a^2 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 2a(a^2 + 2a) + 3a^2 - 2a - 12$
将$a^2 + 2a = 4$代入上式，得：
$= 2a×4 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 8a + 3a^2 - 2a - 12$
$= 3a^2 + 6a - 12$
$= 3(a^2 + 2a) - 12$
再将$a^2 + 2a = 4$代入，得：
$= 3×4 - 12$
$= 12 - 12$
$= 0$
答案：0
∴$a + 1 = \sqrt{5}$，
两边平方得$(a + 1)^2 = 5$，即$a^2 + 2a + 1 = 5$，
∴$a^2 + 2a = 4$。
$2a^3 + 7a^2 - 2a - 12$
$= 2a^3 + 4a^2 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 2a(a^2 + 2a) + 3a^2 - 2a - 12$
将$a^2 + 2a = 4$代入上式，得：
$= 2a×4 + 3a^2 - 2a - 12$
$= 8a + 3a^2 - 2a - 12$
$= 3a^2 + 6a - 12$
$= 3(a^2 + 2a) - 12$
再将$a^2 + 2a = 4$代入，得：
$= 3×4 - 12$
$= 12 - 12$
$= 0$
答案：0
1.(第二十届“希望杯”全国数学邀请赛)将x的整数部分记为$[x]$,x的小数部分记为$\{x\}$,易知$x= [x]+\{x\}(0\leq\{x\}＜1)$.若$x= \sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$,则$[x]$等于(
A.-2
B.-1
C.0
D.1
A
).A.-2
B.-1
C.0
D.1
答案：A
解析：
设$x = \sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$，则$x^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2$
$= 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}$
$= 6 - 2\sqrt{9 - 5}$
$= 6 - 2\sqrt{4}$
$= 6 - 4 = 2$，
故$x = \pm\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{3 + \sqrt{5}} ＞ \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，所以$x = -\sqrt{2}$。
又因为$-2 ＜ -\sqrt{2} \approx -1.414 ＜ -1$，所以$[x] = -2$。
A
$= 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}$
$= 6 - 2\sqrt{9 - 5}$
$= 6 - 2\sqrt{4}$
$= 6 - 4 = 2$，
故$x = \pm\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{3 + \sqrt{5}} ＞ \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，所以$x = -\sqrt{2}$。
又因为$-2 ＜ -\sqrt{2} \approx -1.414 ＜ -1$，所以$[x] = -2$。
A
2.(全国初中数学联赛)若实数a,b,c满足等式$2\sqrt{a}+3|b|= 6$,$4\sqrt{a}-9|b|= 6c$,则c可能取的最大值为(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：
解：设$x = \sqrt{a}$，$y = |b|$，则$x \geq 0$，$y \geq 0$。
由题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 6 \\4x - 9y = 6c\end{cases}$
由第一个方程得：$2x = 6 - 3y$，即$x = 3 - \frac{3}{2}y$。
将$x = 3 - \frac{3}{2}y$代入第二个方程：
$4\left(3 - \frac{3}{2}y\right) - 9y = 6c$
$12 - 6y - 9y = 6c$
$12 - 15y = 6c$
$c = 2 - \frac{5}{2}y$
因为$y \geq 0$，且$x = 3 - \frac{3}{2}y \geq 0$，所以$3 - \frac{3}{2}y \geq 0$，解得$y \leq 2$。
当$y = 0$时，$c$取得最大值，$c = 2 - 0 = 2$。
C
由题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 6 \\4x - 9y = 6c\end{cases}$
由第一个方程得：$2x = 6 - 3y$，即$x = 3 - \frac{3}{2}y$。
将$x = 3 - \frac{3}{2}y$代入第二个方程：
$4\left(3 - \frac{3}{2}y\right) - 9y = 6c$
$12 - 6y - 9y = 6c$
$12 - 15y = 6c$
$c = 2 - \frac{5}{2}y$
因为$y \geq 0$，且$x = 3 - \frac{3}{2}y \geq 0$，所以$3 - \frac{3}{2}y \geq 0$，解得$y \leq 2$。
当$y = 0$时，$c$取得最大值，$c = 2 - 0 = 2$。
C
3.[全国初中数学竞赛(福建赛区)初赛]如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式$\sqrt{a^{2}}-|a+b|+\sqrt{(c-a)^{2}}+|b+c|$可以化简为(
A.$2c-a$
B.$2a-2b$
C.$-a$
D.a
C
).A.$2c-a$
B.$2a-2b$
C.$-a$
D.a
答案：C
解析：
由数轴知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$，$|a| ＜ |c|$。
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$
$|a + b| = -(a + b) = -a - b$（因为$a + b ＜ 0$）
$\sqrt{(c - a)^{2}} = |c - a| = c - a$（因为$c - a ＞ 0$）
$|b + c| = -(b + c) = -b - c$（因为$b + c ＜ 0$）
原式$= -a - (-a - b) + (c - a) + (-b - c)$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
C
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$
$|a + b| = -(a + b) = -a - b$（因为$a + b ＜ 0$）
$\sqrt{(c - a)^{2}} = |c - a| = c - a$（因为$c - a ＞ 0$）
$|b + c| = -(b + c) = -b - c$（因为$b + c ＜ 0$）
原式$= -a - (-a - b) + (c - a) + (-b - c)$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
C
4.(全国初中数学竞赛)设$a= \sqrt[3]{3}$,b是$a^{2}$的小数部分,则$(b+2)^{3}$的值为______
9
.答案：9 解析 由于1＜a＜2＜a²＜3.故b=a²-2=√[3]{9}-2，因此(b+2)³=(√[3]{9})³=9.
解析：
解：因为$a = \sqrt[3]{3}$，所以$a^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$。
由于$1^3 = 1$，$2^3 = 8$，$3^3 = 27$，且$8 ＜ 9 ＜ 27$，所以$2 ＜ \sqrt[3]{9} ＜ 3$，即$2 ＜ a^2 ＜ 3$。
因为$b$是$a^2$的小数部分，所以$b = a^2 - 2 = \sqrt[3]{9} - 2$。
则$(b + 2)^3 = (\sqrt[3]{9} - 2 + 2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 = 9$。
9
由于$1^3 = 1$，$2^3 = 8$，$3^3 = 27$，且$8 ＜ 9 ＜ 27$，所以$2 ＜ \sqrt[3]{9} ＜ 3$，即$2 ＜ a^2 ＜ 3$。
因为$b$是$a^2$的小数部分，所以$b = a^2 - 2 = \sqrt[3]{9} - 2$。
则$(b + 2)^3 = (\sqrt[3]{9} - 2 + 2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 = 9$。
9
5.(全国初中数学竞赛)设a,b,c是素数,记$x= b+c-a$,$y= c+a-b$,$z= a+b-c$,当$z^{2}= y$,$\sqrt{x}-\sqrt{y}= 2$时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.
答案：不能.证明如下：
依题意,得a= $\frac{1}{2}(y+z)$,b= $\frac{1}{2}(x+z)$,c= $\frac{1}{2}(x+y)$.
因为y=z²，
所以a= $\frac{1}{2}(y+z)$= $\frac{1}{2}(z²+z)$= $\frac{z(z+1)}{2}$.
由于z为整数,a为素数，
所以z=2或-3,a=3.
当z=2时,y=z²=4,x=($\sqrt{y}$+2)²=16，
进而b=9,c=10,与b,c是素数矛盾；
当z=-3时,a+b-c＜0，
所以a,b,c不能构成三角形的三边长.
依题意,得a= $\frac{1}{2}(y+z)$,b= $\frac{1}{2}(x+z)$,c= $\frac{1}{2}(x+y)$.
因为y=z²，
所以a= $\frac{1}{2}(y+z)$= $\frac{1}{2}(z²+z)$= $\frac{z(z+1)}{2}$.
由于z为整数,a为素数，
所以z=2或-3,a=3.
当z=2时,y=z²=4,x=($\sqrt{y}$+2)²=16，
进而b=9,c=10,与b,c是素数矛盾；
当z=-3时,a+b-c＜0，
所以a,b,c不能构成三角形的三边长.