1.(2024·河北邯郸期末)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:如图(1),在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,猜想∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系? 并说明你的猜想.
(2)探究2:如图(2),O是∠ABC与∠ACD的平分线的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系? 请说明理由.
(3)探究3:如图(3),O是∠DBC与∠ECB的平分线的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系? 请说明理由.
(1)探究1:如图(1),在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,猜想∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系? 并说明你的猜想.
(2)探究2:如图(2),O是∠ABC与∠ACD的平分线的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系? 请说明理由.
(3)探究3:如图(3),O是∠DBC与∠ECB的平分线的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系? 请说明理由.
答案：
1.
(1)
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
又∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)
=180°−(90°-$\frac{1}{2}$∠A)
=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
(2)∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
如图,
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACD的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD.
又∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC,
∴∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1.
∵∠2是△BOC的外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1−∠1=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
根据三角形的外角性质,得∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∵O是∠DBC与∠ECB的平分线的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCE,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠BCE)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC).
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
1.
(1)
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
又∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)
=180°−(90°-$\frac{1}{2}$∠A)
=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
(2)∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
如图,
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACD的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD.
又∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC,
∴∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1.
∵∠2是△BOC的外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1−∠1=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
根据三角形的外角性质,得∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∵O是∠DBC与∠ECB的平分线的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCE,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠BCE)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC).
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
2.(1)模型:如图(1),AD,BC交于点O.求证:∠D+∠C= ∠A+∠B;
(2)模型应用:如图(2),∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D= 20°,∠B= 60°,则∠E的度数是______;
②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是______.
(3)类比应用:如图(3),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D= m°,∠B= n°(m＜n).求∠E的度数.(用含有m,n的式子表示)
(2)模型应用:如图(2),∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D= 20°,∠B= 60°,则∠E的度数是______;
②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是______.
(3)类比应用:如图(3),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D= m°,∠B= n°(m＜n).求∠E的度数.(用含有m,n的式子表示)
答案：
2.
(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°,∠COD=∠AOB,
∴∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)①40° [解析]由
(1)得∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB.
∵CE平分∠DCB,AE平分∠BAD,
∴∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE,
∴2∠E=∠B+∠D,
∴∠E=$\frac{1}{2}$×(20°+60°)=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
②∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)
(3)如图,延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD,
∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
由
(1)得∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D).
又∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n−m)°.
2.
(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°,∠COD=∠AOB,
∴∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)①40° [解析]由
(1)得∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB.
∵CE平分∠DCB,AE平分∠BAD,
∴∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE,
∴2∠E=∠B+∠D,
∴∠E=$\frac{1}{2}$×(20°+60°)=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
②∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)
(3)如图,延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD,
∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
由
(1)得∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D).
又∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n−m)°.