1. 古希腊数学家丢番图的墓志铭记载了他的一生. 为了深入了解丢番图的生平,七年级某数学兴趣小组开展了一次探究活动.
(1)已知丢番图生命的六分之一是幸福的童年,再活生命的十二分之一,颊上长出了细细的胡须,又过了生命的七分之一才结婚,婚后 5 年得子,孩子的寿命是他的一半,孩子死后,老人在悲痛中活了 4 年结束了尘世生涯. 求丢番图活了多少岁?
(2)在上述探究活动中,小组计划制作一个展示板,将丢番图的生平信息以图文并茂的形式呈现出来. 展示板是一个长方形,其长比宽多 20 厘米,且周长为 160 厘米,求这个展示板的长和宽分别是多少厘米?
(1)已知丢番图生命的六分之一是幸福的童年,再活生命的十二分之一,颊上长出了细细的胡须,又过了生命的七分之一才结婚,婚后 5 年得子,孩子的寿命是他的一半,孩子死后,老人在悲痛中活了 4 年结束了尘世生涯. 求丢番图活了多少岁?
(2)在上述探究活动中,小组计划制作一个展示板,将丢番图的生平信息以图文并茂的形式呈现出来. 展示板是一个长方形,其长比宽多 20 厘米,且周长为 160 厘米,求这个展示板的长和宽分别是多少厘米?
答案：1. 解: (1) 设丢番图活了 $ x $ 岁, 根据题意, 得
$ \frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x + 5 + \frac{1}{2}x + 4 = x $
解得 $ x = 84 $.
答: 丢番图活了 84 岁.
(2) 设展示板的宽为 $ y $ 厘米, 则长为 $ (y + 20) $ 厘米,
根据题意, 得 $ 2(y + y + 20) = 160 $, 解得 $ y = 30 $.
则 $ y + 20 = 30 + 20 = 50 $.
答: 展示板的长是 50 厘米, 宽是 30 厘米.
$ \frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x + 5 + \frac{1}{2}x + 4 = x $
解得 $ x = 84 $.
答: 丢番图活了 84 岁.
(2) 设展示板的宽为 $ y $ 厘米, 则长为 $ (y + 20) $ 厘米,
根据题意, 得 $ 2(y + y + 20) = 160 $, 解得 $ y = 30 $.
则 $ y + 20 = 30 + 20 = 50 $.
答: 展示板的长是 50 厘米, 宽是 30 厘米.
2. 在一次数学综合实践课上,老师组织同学们探索月历中的数学奥秘.
(1)小辉用“一”字形框在月历上横着框出 3 个数,这 3 个数的和是 54,请求出这 3 个数分别是多少?
(2)小敏用“十”字形框在月历上框出 5 个数,这 5 个数的和是 80,你能求出这 5 个数吗? 如果能,请求出;如果不能,请说明理由.
(3)小萱自己设计了一个“T”字形透明框,在月历上框出了 5 个数,已知这 5 个数的和是 106,求框出的最中间的数是多少?
(1)小辉用“一”字形框在月历上横着框出 3 个数,这 3 个数的和是 54,请求出这 3 个数分别是多少?
(2)小敏用“十”字形框在月历上框出 5 个数,这 5 个数的和是 80,你能求出这 5 个数吗? 如果能,请求出;如果不能,请说明理由.
(3)小萱自己设计了一个“T”字形透明框,在月历上框出了 5 个数,已知这 5 个数的和是 106,求框出的最中间的数是多少?
答案：2. 解: (1) 设框出的第一个数为 $ x $, 因为月历上同一行相邻两个数相差 1, 则后面两个数分别为 $ x + 1 $, $ x + 2 $.
根据题意, 得 $ x + (x + 1) + (x + 2) = 54 $,
解得 $ x = 17 $,
则 $ x + 1 = 17 + 1 = 18 $, $ x + 2 = 17 + 2 = 19 $,
所以这 3 个数分别是 17, 18, 19.
(2) 能. 设“十”字形框最中间的数为 $ y $, 则上面的数为 $ y - 7 $, 下面的数为 $ y + 7 $, 左边的数为 $ y - 1 $, 右边的数为 $ y + 1 $.
根据题意, 得
$ (y - 7) + (y - 1) + y + (y + 1) + (y + 7) = 80 $
解得 $ y = 16 $,
则 $ y - 7 = 16 - 7 = 9 $,
$ y - 1 = 16 - 1 = 15 $,
$ y + 1 = 16 + 1 = 17 $,
$ y + 7 = 16 + 7 = 23 $,
所以这 5 个数分别是 9, 15, 16, 17, 23.
(3) 设框出的最中间的数为 $ z $, 则上面的数为 $ z - 7 $, 左上角的数为 $ z - 8 $, 右上角的数为 $ z - 6 $, 下面的数为 $ z + 7 $.
根据题意, 得
$ (z - 8) + (z - 7) + (z - 6) + z + (z + 7) = 106 $
解得 $ z = 24 $,
所以框出的最中间的数是 24.
根据题意, 得 $ x + (x + 1) + (x + 2) = 54 $,
解得 $ x = 17 $,
则 $ x + 1 = 17 + 1 = 18 $, $ x + 2 = 17 + 2 = 19 $,
所以这 3 个数分别是 17, 18, 19.
(2) 能. 设“十”字形框最中间的数为 $ y $, 则上面的数为 $ y - 7 $, 下面的数为 $ y + 7 $, 左边的数为 $ y - 1 $, 右边的数为 $ y + 1 $.
根据题意, 得
$ (y - 7) + (y - 1) + y + (y + 1) + (y + 7) = 80 $
解得 $ y = 16 $,
则 $ y - 7 = 16 - 7 = 9 $,
$ y - 1 = 16 - 1 = 15 $,
$ y + 1 = 16 + 1 = 17 $,
$ y + 7 = 16 + 7 = 23 $,
所以这 5 个数分别是 9, 15, 16, 17, 23.
(3) 设框出的最中间的数为 $ z $, 则上面的数为 $ z - 7 $, 左上角的数为 $ z - 8 $, 右上角的数为 $ z - 6 $, 下面的数为 $ z + 7 $.
根据题意, 得
$ (z - 8) + (z - 7) + (z - 6) + z + (z + 7) = 106 $
解得 $ z = 24 $,
所以框出的最中间的数是 24.