1. 若$∠A = 40^{\circ}$,则$∠A$的余角的度数是 (
A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$140^{\circ}$
D.$160^{\circ}$
A
)A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$140^{\circ}$
D.$160^{\circ}$
答案：A
解析：
解：因为互为余角的两个角的和为$90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，所以$\angle A$的余角的度数是$90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
答案：A
答案：A
2. 将一副直角三角尺如图放置,若$∠BOC = 160^{\circ}$,则$∠AOD$的度数为 (
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：B
解析：
解：由题意知，一副直角三角尺的直角分别为∠COD=90°，∠AOB=90°。
因为∠AOC + ∠AOD = ∠COD = 90°，∠BOD + ∠AOD = ∠AOB = 90°，
所以∠AOC + ∠AOD + ∠BOD + ∠AOD = 90° + 90° = 180°，
即∠AOC + ∠BOD + 2∠AOD = 180°。
又因为∠BOC = ∠AOC + ∠AOD + ∠BOD = 160°，
所以∠AOC + ∠BOD = 160° - ∠AOD。
将其代入上式可得：160° - ∠AOD + 2∠AOD = 180°，
解得∠AOD = 20°。
答案：B
因为∠AOC + ∠AOD = ∠COD = 90°，∠BOD + ∠AOD = ∠AOB = 90°，
所以∠AOC + ∠AOD + ∠BOD + ∠AOD = 90° + 90° = 180°，
即∠AOC + ∠BOD + 2∠AOD = 180°。
又因为∠BOC = ∠AOC + ∠AOD + ∠BOD = 160°，
所以∠AOC + ∠BOD = 160° - ∠AOD。
将其代入上式可得：160° - ∠AOD + 2∠AOD = 180°，
解得∠AOD = 20°。
答案：B
3. (2024·丹徒区月考)一个角的补角比这个角的余角的 3 倍还多$10^{\circ}$,则这个角的度数为(
A.$140^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
C
)A.$140^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案：C
解析：
解：设这个角的度数为$x^{\circ}$。
由题意得：$180 - x = 3(90 - x) + 10$
$180 - x = 270 - 3x + 10$
$-x + 3x = 270 + 10 - 180$
$2x = 100$
$x = 50$
答案：C
由题意得：$180 - x = 3(90 - x) + 10$
$180 - x = 270 - 3x + 10$
$-x + 3x = 270 + 10 - 180$
$2x = 100$
$x = 50$
答案：C
4. 已知$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$,$∠3 + ∠2 = 90^{\circ}$,可得$∠1 = ∠3$,理由是
同角的余角相等
。答案：同角的余角相等
5. (1)若一个角的补角等于它的余角的 4 倍,则这个角的度数是______$^{\circ}$；
(2)如图,已知$∠α$,分别用两种不同的方法,画出$∠α的余角∠β以及∠α的补角∠γ$。
(2)如图,已知$∠α$,分别用两种不同的方法,画出$∠α的余角∠β以及∠α的补角∠γ$。
答案：
(1)60
(2)解：∠α的余角如答图①②，∠α的补角如答图③④.
(1)60
(2)解：∠α的余角如答图①②，∠α的补角如答图③④.
6. 如果$∠1和∠2$互补,且$∠1 ＞ ∠2$,那么下列式子不能表示$∠2$的余角的是 (
A.$90^{\circ} - ∠2$
B.$∠1 - 90^{\circ}$
C.$\frac{1}{2}(∠1 + ∠2)$
D.$\frac{1}{2}(∠1 - ∠2)$
C
)A.$90^{\circ} - ∠2$
B.$∠1 - 90^{\circ}$
C.$\frac{1}{2}(∠1 + ∠2)$
D.$\frac{1}{2}(∠1 - ∠2)$
答案：C
解析：
解：∵∠1和∠2互补，
∴∠1 + ∠2 = 180°。
A. 90° - ∠2 是∠2的余角，正确；
B. ∠1 - 90° = (180° - ∠2) - 90° = 90° - ∠2，是∠2的余角，正确；
C. $\frac{1}{2}(∠1 + ∠2) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，不是∠2的余角，错误；
D. $\frac{1}{2}(∠1 - ∠2) = \frac{1}{2}(180° - ∠2 - ∠2) = 90° - ∠2$，是∠2的余角，正确。
答案：C
∴∠1 + ∠2 = 180°。
A. 90° - ∠2 是∠2的余角，正确；
B. ∠1 - 90° = (180° - ∠2) - 90° = 90° - ∠2，是∠2的余角，正确；
C. $\frac{1}{2}(∠1 + ∠2) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，不是∠2的余角，错误；
D. $\frac{1}{2}(∠1 - ∠2) = \frac{1}{2}(180° - ∠2 - ∠2) = 90° - ∠2$，是∠2的余角，正确。
答案：C
7. 如图,点$O在直线AB$上,$∠COB = ∠DOE = 90^{\circ}$,那么图中相等的角有 (
A.3 对
B.5 对
C.6 对
D.7 对
B
) A.3 对
B.5 对
C.6 对
D.7 对
答案：B
解析：
解：
∵点O在直线AB上，∠COB=∠DOE=90°，
∴∠AOC=180°-∠COB=90°，
故∠AOC=∠COB=∠DOE=90°（3对相等角）。
∵∠COD+∠COE=∠DOE=90°，∠COE+∠EOB=∠COB=90°，
∴∠COD=∠EOB。
∵∠AOD+∠COD=∠AOC=90°，∠COD+∠COE=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE。
综上，相等的角共有5对。
答案：B
∵点O在直线AB上，∠COB=∠DOE=90°，
∴∠AOC=180°-∠COB=90°，
故∠AOC=∠COB=∠DOE=90°（3对相等角）。
∵∠COD+∠COE=∠DOE=90°，∠COE+∠EOB=∠COB=90°，
∴∠COD=∠EOB。
∵∠AOD+∠COD=∠AOC=90°，∠COD+∠COE=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE。
综上，相等的角共有5对。
答案：B
8. (2024·鼓楼区月考)如图,$AB$,$CD相交于点O$,$OE⊥AB$,那么下列结论错误的是 (
A.$∠AOC与∠BOD$相等
B.$∠AOC与∠COE$互为余角
C.$∠BOD与∠COE$互为余角
D.$∠COE与∠BOE$互为补角
D
)A.$∠AOC与∠BOD$相等
B.$∠AOC与∠COE$互为余角
C.$∠BOD与∠COE$互为余角
D.$∠COE与∠BOE$互为补角
答案：D
解析：
解：
A. 对顶角相等，∠AOC=∠BOD，正确；
B. OE⊥AB，∠AOE=90°，∠AOC+∠COE=∠AOE=90°，互为余角，正确；
C. ∠BOD=∠AOC，∠AOC+∠COE=90°，则∠BOD+∠COE=90°，互为余角，正确；
D. ∠BOE=90°，∠COE＜90°，∠COE+∠BOE＜180°，不互为补角，错误。
结论：D
A. 对顶角相等，∠AOC=∠BOD，正确；
B. OE⊥AB，∠AOE=90°，∠AOC+∠COE=∠AOE=90°，互为余角，正确；
C. ∠BOD=∠AOC，∠AOC+∠COE=90°，则∠BOD+∠COE=90°，互为余角，正确；
D. ∠BOE=90°，∠COE＜90°，∠COE+∠BOE＜180°，不互为补角，错误。
结论：D
9. 如图,$∠AOB = ∠COD = ∠EOF = 90^{\circ}$,则$∠1$,$∠2$,$∠3$之间的数量关系为
∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°
。答案：∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°
解析：
解：由图可知，∠AOC + ∠3 = 90°（∠AOB=90°），∠COE = ∠2，∠EOD + ∠1 = 90°（∠EOF=90°）。
因为∠AOC + ∠COE + ∠EOD = 180°（平角定义），所以（90° - ∠3） + ∠2 + （90° - ∠1） = 180°。
化简得：180° - ∠3 + ∠2 - ∠1 = 180°，即∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°。
∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°
因为∠AOC + ∠COE + ∠EOD = 180°（平角定义），所以（90° - ∠3） + ∠2 + （90° - ∠1） = 180°。
化简得：180° - ∠3 + ∠2 - ∠1 = 180°，即∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°。
∠3 - ∠2 + ∠1 = 90°