9. 两条直线相交于点$O$,共有
2
对对顶角；三条直线相交于点$O$,共有6
对对顶角；$n条直线相交于点O$,共有$n(n - 1)$
对对顶角.答案：2 6 $ n(n - 1) $
解析：
两条直线相交于点$O$，形成$2$对对顶角；三条直线相交于点$O$，形成$6$对对顶角；$n$条直线相交于点$O$，共有$n(n - 1)$对对顶角。
答案依次为：$2$；$6$；$n(n - 1)$
答案依次为：$2$；$6$；$n(n - 1)$
10. 如图,点$A,O,B$在同一条直线上,$OE平分\angle BOC$,$\angle DOE= 90^{\circ}$.
(1)与$\angle COD$互余的角有
(2)若$\angle COE= 30^{\circ}$,求$\angle AOE$的度数；
(3)试说明：$OD是\angle AOC$的平分线.
(1)与$\angle COD$互余的角有
$ \angle BOE $，$ \angle COE $
；(2)若$\angle COE= 30^{\circ}$,求$\angle AOE$的度数；
解：因为 $ OE $ 平分 $ \angle BOC $，所以 $ \angle COE = \angle BOE = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} $
(3)试说明：$OD是\angle AOC$的平分线.
解：因为 $ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线，所以 $ \angle COE = \angle BOE $。因为 $ \angle DOE = 90^{\circ} $，所以 $ \angle COD + \angle COE = 90^{\circ} $，且 $ \angle DOA + \angle BOE = 180^{\circ} - \angle DOE = 90^{\circ} $，所以 $ \angle DOC + \angle COE = \angle DOA + \angle BOE $，所以 $ \angle DOC = \angle DOA $，所以 $ OD $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线。
答案：(1) $ \angle BOE $，$ \angle COE $；(2) 解：因为 $ OE $ 平分 $ \angle BOC $，所以 $ \angle COE = \angle BOE = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} $；(3) 解：因为 $ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线，所以 $ \angle COE = \angle BOE $。因为 $ \angle DOE = 90^{\circ} $，所以 $ \angle COD + \angle COE = 90^{\circ} $，且 $ \angle DOA + \angle BOE = 180^{\circ} - \angle DOE = 90^{\circ} $，所以 $ \angle DOC + \angle COE = \angle DOA + \angle BOE $，所以 $ \angle DOC = \angle DOA $，所以 $ OD $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线。
解析：
(1) $\angle BOE$，$\angle COE$
(2) 解：因为 $OE$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle COE = \angle BOE = 30^{\circ}$，所以 $\angle AOE = 180^{\circ} - \angle BOE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
(3) 证明：因为 $OE$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle COE = \angle BOE$。因为 $\angle DOE = 90^{\circ}$，所以 $\angle COD + \angle COE = 90^{\circ}$。因为点 $A, O, B$ 在同一条直线上，所以 $\angle AOB = 180^{\circ}$，所以 $\angle AOD + \angle DOE + \angle BOE = 180^{\circ}$，即 $\angle AOD + 90^{\circ} + \angle BOE = 180^{\circ}$，所以 $\angle AOD + \angle BOE = 90^{\circ}$。因为 $\angle COD + \angle COE = 90^{\circ}$ 且 $\angle COE = \angle BOE$，所以 $\angle COD = \angle AOD$，所以 $OD$ 是 $\angle AOC$ 的平分线。
(2) 解：因为 $OE$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle COE = \angle BOE = 30^{\circ}$，所以 $\angle AOE = 180^{\circ} - \angle BOE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
(3) 证明：因为 $OE$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle COE = \angle BOE$。因为 $\angle DOE = 90^{\circ}$，所以 $\angle COD + \angle COE = 90^{\circ}$。因为点 $A, O, B$ 在同一条直线上，所以 $\angle AOB = 180^{\circ}$，所以 $\angle AOD + \angle DOE + \angle BOE = 180^{\circ}$，即 $\angle AOD + 90^{\circ} + \angle BOE = 180^{\circ}$，所以 $\angle AOD + \angle BOE = 90^{\circ}$。因为 $\angle COD + \angle COE = 90^{\circ}$ 且 $\angle COE = \angle BOE$，所以 $\angle COD = \angle AOD$，所以 $OD$ 是 $\angle AOC$ 的平分线。
11. 如图①,直线$AB与CD相交于点E$,射线$EG在\angle AEC$内部.
(1)若$\angle BEC$的补角是它的余角的3倍,则$\angle BEC= $
(2)在(1)的条件下,若$\angle CEG比\angle AEG小25^{\circ}$,求$\angle AEG$的度数；
(3)如图②,若射线$EF平分\angle AED$,$\angle FEG= 100^{\circ}$,则$\angle AEG-\angle CEG= $
(1)若$\angle BEC$的补角是它的余角的3倍,则$\angle BEC= $
$45^{\circ}$
；(2)在(1)的条件下,若$\angle CEG比\angle AEG小25^{\circ}$,求$\angle AEG$的度数；
解：因为 $ \angle BEC = 45^{\circ} $，所以 $ \angle AEC = 135^{\circ} $。设 $ \angle AEG = x^{\circ} $，则 $ \angle CEG = x^{\circ} - 25^{\circ} $，所以 $ x + (x - 25) = 135 $，解得 $ x = 80 $，所以 $ \angle AEG = 80^{\circ} $
(3)如图②,若射线$EF平分\angle AED$,$\angle FEG= 100^{\circ}$,则$\angle AEG-\angle CEG= $
$20^{\circ}$
.答案：(1) $ 45^{\circ} $；(2) 解：因为 $ \angle BEC = 45^{\circ} $，所以 $ \angle AEC = 135^{\circ} $。设 $ \angle AEG = x^{\circ} $，则 $ \angle CEG = x^{\circ} - 25^{\circ} $，所以 $ x + (x - 25) = 135 $，解得 $ x = 80 $，所以 $ \angle AEG = 80^{\circ} $；(3) $ 20^{\circ} $
12. 如图,直线$AB与CD相交于点O$.
(1)如图①,若$\angle AOM= 90^{\circ}$,$OC平分\angle AOM$,求$\angle AOD$的度数；
(2)如图②,若$\angle AOM= 90^{\circ}$,$\angle BOC= 4\angle BON$,$OM平分\angle CON$,求$\angle MON$的度数；
(3)如图③,若$\angle AOM= \alpha$,$\angle BOC= 4\angle BON$,$OM平分\angle CON$,求$\angle MON$的度数. (用含$\alpha$的式子表示)
(1)如图①,若$\angle AOM= 90^{\circ}$,$OC平分\angle AOM$,求$\angle AOD$的度数；
(2)如图②,若$\angle AOM= 90^{\circ}$,$\angle BOC= 4\angle BON$,$OM平分\angle CON$,求$\angle MON$的度数；
(3)如图③,若$\angle AOM= \alpha$,$\angle BOC= 4\angle BON$,$OM平分\angle CON$,求$\angle MON$的度数. (用含$\alpha$的式子表示)
答案：(1) 解：因为 $ \angle AOM = 90^{\circ} $，$ OC $ 平分 $ \angle AOM $，所以 $ \angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOM = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ} $。因为 $ \angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ} $，所以 $ \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} $；(2) 解：因为 $ \angle BOC = 4 \angle BON $，所以设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，所以 $ \angle CON = \angle COB - \angle BON = 4x - x = 3x $。因为 $ OM $ 平分 $ \angle CON $，所以 $ \angle COM = \angle MON = \frac{1}{2} \angle CON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = 90^{\circ} $，所以 $ \angle BOM = 90^{\circ} $，所以 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON = \frac{3}{2}x + x = 90^{\circ} $，所以 $ x = 36^{\circ} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} × 36^{\circ} = 54^{\circ} $；(3) 解：因为 $ \angle BOC = 4 \angle BON $，所以设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，由 (2) 可知 $ \angle COM = \angle MON = \frac{1}{2} \angle CON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = \alpha $，所以 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON = \frac{3}{2}x + x = 180^{\circ} - \alpha $，所以 $ x = \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} × \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} = \frac{540^{\circ} - 3\alpha}{5} $
解析：
(1) 解：因为 $ \angle AOM = 90^{\circ} $，$ OC $ 平分 $ \angle AOM $，所以 $ \angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOM = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ} $。因为 $ \angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ} $，所以 $ \angle AOD = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} $。
(2) 解：设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，所以 $ \angle CON = \angle BOC - \angle BON = 4x - x = 3x $。因为 $ OM $ 平分 $ \angle CON $，所以 $ \angle MON = \frac{1}{2} \angle CON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = 90^{\circ} $，所以 $ \angle BOM = 180^{\circ} - \angle AOM = 90^{\circ} $。又因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $，所以 $ \frac{3}{2}x + x = 90^{\circ} $，解得 $ x = 36^{\circ} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2} × 36^{\circ} = 54^{\circ} $。
(3) 解：设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，所以 $ \angle CON = 4x - x = 3x $。因为 $ OM $ 平分 $ \angle CON $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = \alpha $，所以 $ \angle BOM = 180^{\circ} - \alpha $。又因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $，所以 $ \frac{3}{2}x + x = 180^{\circ} - \alpha $，解得 $ x = \frac{2(180^{\circ} - \alpha)}{5} = \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2} × \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} = \frac{540^{\circ} - 3\alpha}{5} $。
(2) 解：设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，所以 $ \angle CON = \angle BOC - \angle BON = 4x - x = 3x $。因为 $ OM $ 平分 $ \angle CON $，所以 $ \angle MON = \frac{1}{2} \angle CON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = 90^{\circ} $，所以 $ \angle BOM = 180^{\circ} - \angle AOM = 90^{\circ} $。又因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $，所以 $ \frac{3}{2}x + x = 90^{\circ} $，解得 $ x = 36^{\circ} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2} × 36^{\circ} = 54^{\circ} $。
(3) 解：设 $ \angle BON = x $，则 $ \angle BOC = 4x $，所以 $ \angle CON = 4x - x = 3x $。因为 $ OM $ 平分 $ \angle CON $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2}x $。因为 $ \angle AOM = \alpha $，所以 $ \angle BOM = 180^{\circ} - \alpha $。又因为 $ \angle BOM = \angle MON + \angle BON $，所以 $ \frac{3}{2}x + x = 180^{\circ} - \alpha $，解得 $ x = \frac{2(180^{\circ} - \alpha)}{5} = \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} $，所以 $ \angle MON = \frac{3}{2} × \frac{360^{\circ} - 2\alpha}{5} = \frac{540^{\circ} - 3\alpha}{5} $。