10. (1)观察下列各数:1,$\frac{4}{3}$,$\frac{9}{7}$,$\frac{16}{15}$,…,按照这样的规律,第 5 个数为
(2)如图,一个点表示一个数,不同位置的点表示不同的数,每行各点所表示的数自左向右按从小到大的顺序排列,且相邻两个点所表示的数相差 1,每行数的和等于右边相应的数字.那么表示 2025 的点在第
$\frac{25}{31}$
;(2)如图,一个点表示一个数,不同位置的点表示不同的数,每行各点所表示的数自左向右按从小到大的顺序排列,且相邻两个点所表示的数相差 1,每行数的和等于右边相应的数字.那么表示 2025 的点在第
45
行,从左向右第89
个位置.答案：(1)$\frac{25}{31}$ (2)45 89
解析：
(1) 观察数列：1=$\frac{1^2}{2^1 - 1}$，$\frac{4}{3}$=$\frac{2^2}{2^2 - 1}$，$\frac{9}{7}$=$\frac{3^2}{2^3 - 1}$，$\frac{16}{15}$=$\frac{4^2}{2^4 - 1}$，规律为第n个数是$\frac{n^2}{2^n - 1}$。第5个数：$\frac{5^2}{2^5 - 1}$=$\frac{25}{31}$。
(2) 设第n行有m个点，由图知第1行1个点，第2行3个点，第3行5个点，第4行7个点，第5行9个点，可得m=2n - 1。设第n行第一个数为a，相邻数差1，和为右边数字。第1行：a=1，和=1；第2行：a + (a + 1) + (a + 2)=9，3a + 3=9，a=2；第3行：5a + 10=35，a=5；第4行：7a + 21=91，a=10；第5行：9a + 36=189，a=17。观察a的规律：1，2，5，10，17，相邻差1，3，5，7，即差为2n - 3（n≥2），可得a=(n - 1)^2 + 1。第n行数字范围：[(n - 1)^2 + 1，(n - 1)^2 + 1 + (2n - 1) - 1]=[n^2 - 2n + 2，n^2]。2025=45^2，故在第45行。位置：2025 - (45^2 - 2×45 + 2) + 1=89。
答案：(1)$\frac{25}{31}$；(2)45，89。
(2) 设第n行有m个点，由图知第1行1个点，第2行3个点，第3行5个点，第4行7个点，第5行9个点，可得m=2n - 1。设第n行第一个数为a，相邻数差1，和为右边数字。第1行：a=1，和=1；第2行：a + (a + 1) + (a + 2)=9，3a + 3=9，a=2；第3行：5a + 10=35，a=5；第4行：7a + 21=91，a=10；第5行：9a + 36=189，a=17。观察a的规律：1，2，5，10，17，相邻差1，3，5，7，即差为2n - 3（n≥2），可得a=(n - 1)^2 + 1。第n行数字范围：[(n - 1)^2 + 1，(n - 1)^2 + 1 + (2n - 1) - 1]=[n^2 - 2n + 2，n^2]。2025=45^2，故在第45行。位置：2025 - (45^2 - 2×45 + 2) + 1=89。
答案：(1)$\frac{25}{31}$；(2)45，89。
11. (1)某校暑假组织该校“三好学生”去北京旅游,由 3 名老师带队,甲旅行社说:“如果带队老师买全票,则学生可享受半价优惠”,乙旅行社说:“包括带队老师在内全部按全票价的 6 折优惠”.若一个人的全票价是 800 元,设学生人数为 x,分别计算两家旅行社的费用;
(2)一种商品每件成本为 a 元,原来按成本增加 20%定价,现在由于库存积压进行降价,按原价的 85%出售.原来每件售价多少元? 现在每件售价多少元? 现在每件盈利多少元?
(2)一种商品每件成本为 a 元,原来按成本增加 20%定价,现在由于库存积压进行降价,按原价的 85%出售.原来每件售价多少元? 现在每件售价多少元? 现在每件盈利多少元?
答案：解：(1)选择甲旅行社的费用为 $3×800 + 800x×0.5=(2400 + 400x)$ 元；选择乙旅行社的费用为 $800×(x + 3)×0.6=(480x + 1440)$ 元。(2)原来每件售价为 $(1 + 20\%)a = 1.2a$ (元)，现在每件售价为 $1.2a×85\% = 1.02a$ (元)，现在每件盈利 $1.02a - a = 0.02a$ (元)。
12. 观察下列等式:
①$2^{2}-2^{1}= 4-2= 2^{1}$;
②$2^{3}-2^{2}= 8-4= 2^{2}$;
③$2^{4}-2^{3}= 16-8= 2^{3}$;
④______;
……
(1)请写出第④个等式:
(2)根据你发现的规律,用含字母 n 的式子表示第 n 个等式:
(3)请利用上述规律计算:$2^{1}+2^{2}+…+2^{100}$.
①$2^{2}-2^{1}= 4-2= 2^{1}$;
②$2^{3}-2^{2}= 8-4= 2^{2}$;
③$2^{4}-2^{3}= 16-8= 2^{3}$;
④______;
……
(1)请写出第④个等式:
$2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$
;(2)根据你发现的规律,用含字母 n 的式子表示第 n 个等式:
$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$
;(3)请利用上述规律计算:$2^{1}+2^{2}+…+2^{100}$.
解：因为 $2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2^{1}$，$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 2^{2}$，…，$2^{101}-2^{100}=2^{100}$，所以原式 $=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{101}-2^{100}=2^{101}-2$。
答案：(1)$2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$；(2)$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$；(3)解：因为 $2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2^{1}$，$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 2^{2}$，…，$2^{1001}-2^{1000}=2^{1000}$，所以原式 $=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{1001}-2^{1000}=2^{1001}-2$。