1. 已知 $ x = 3 $ 是方程 $ ax + 6 = -4x - 12 $ 的解,$ b $ 满足关系式 $ |2b + a| = 14 $,求 $ a + b $ 的值。
答案：解: 把 $ x = 3 $ 代入方程, 得 $ 3a + 6 = -12 - 12 $,
解得 $ a = -10 $.
把 $ a = -10 $ 代入 $ |2b + a| = 14 $, 得 $ |2b - 10| = 14 $,
解得 $ b = 12 $ 或 $ b = -2 $,
则 $ a + b = 2 $ 或 $ a + b = -12 $.
解得 $ a = -10 $.
把 $ a = -10 $ 代入 $ |2b + a| = 14 $, 得 $ |2b - 10| = 14 $,
解得 $ b = 12 $ 或 $ b = -2 $,
则 $ a + b = 2 $ 或 $ a + b = -12 $.
2. 当 $ m $ 为何值时,关于 $ x $ 的方程 $ 2(x + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $ 的解比 $ 5(x - 1) - 1 = 4(x - 1) + 1 $ 的解大 2？
答案：解: 解方程 $ 5(x - 1) - 1 = 4(x - 1) + 1 $, 得 $ x = 3 $,
故方程 $ 2(x + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $ 的解为 $ x = 3 + 2 = 5 $,
把 $ x = 5 $ 代入方程 $ 2(x + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $, 得
$ 2(5 + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $, 解得 $ m = 22 $.
故方程 $ 2(x + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $ 的解为 $ x = 3 + 2 = 5 $,
把 $ x = 5 $ 代入方程 $ 2(x + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $, 得
$ 2(5 + 1) - m = \frac{2 - m}{2} $, 解得 $ m = 22 $.
3. 若方程 $ 3(x - 1) + 8 = x + 3 $ 与 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $ 的解互为相反数,求 $ (1 - 3k)^3 $ 的值。
答案：解: 解方程 $ 3(x - 1) + 8 = x + 3 $, 得 $ x = -1 $.
因为方程 $ 3(x - 1) + 8 = x + 3 $ 与 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $ 的解互为相反数, 所以方程 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $ 的解为 $ x = 1 $.
把 $ x = 1 $ 代入方程 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $, 得 $ \frac{1 + k}{5} = \frac{2 - 1}{3} $,
解得 $ k = \frac{2}{3} $,
所以 $ (1 - 3k)^3 = \left(1 - 3 × \frac{2}{3}\right)^3 = -1 $.
因为方程 $ 3(x - 1) + 8 = x + 3 $ 与 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $ 的解互为相反数, 所以方程 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $ 的解为 $ x = 1 $.
把 $ x = 1 $ 代入方程 $ \frac{x + k}{5} = \frac{2 - x}{3} $, 得 $ \frac{1 + k}{5} = \frac{2 - 1}{3} $,
解得 $ k = \frac{2}{3} $,
所以 $ (1 - 3k)^3 = \left(1 - 3 × \frac{2}{3}\right)^3 = -1 $.
4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x - 4 = 3m $ 与 $ x + 3 = m $ 的解的绝对值相等,求 $ m $ 的值。
答案：解: 解方程 $ 2x - 4 = 3m $, 得 $ x = \frac{3m + 4}{2} $,
解方程 $ x + 3 = m $, 得 $ x = m - 3 $.
因为两个方程的解的绝对值相等,
所以 $ \frac{3m + 4}{2} = m - 3 $ 或 $ \frac{3m + 4}{2} = -(m - 3) $,
解得 $ m = -10 $ 或 $ m = \frac{2}{5} $.
解方程 $ x + 3 = m $, 得 $ x = m - 3 $.
因为两个方程的解的绝对值相等,
所以 $ \frac{3m + 4}{2} = m - 3 $ 或 $ \frac{3m + 4}{2} = -(m - 3) $,
解得 $ m = -10 $ 或 $ m = \frac{2}{5} $.
5. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $ 与 $ 4x - 2(3 - x) + 3 = 0 $ 的解互为倒数,求 $ a $ 的值。
答案：解: 解方程 $ 4x - 2(3 - x) + 3 = 0 $, 得 $ x = \frac{1}{2} $.
因为关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $ 与 $ 4x - 2(3 - x) + 3 = 0 $ 的解互为倒数,
所以关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $ 的解是 $ x = 2 $,
把 $ x = 2 $ 代入 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $, 得 $ \frac{2 + a}{2} - \frac{a}{3} = 2 $, 解得 $ a = 6 $.
因为关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $ 与 $ 4x - 2(3 - x) + 3 = 0 $ 的解互为倒数,
所以关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $ 的解是 $ x = 2 $,
把 $ x = 2 $ 代入 $ \frac{x + a}{2} - \frac{a}{3} = x $, 得 $ \frac{2 + a}{2} - \frac{a}{3} = 2 $, 解得 $ a = 6 $.