6. 定义：如果两个一元一次方程的解的和为 1,我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程 $ 4x = 8 $ 和 $ x + 1 = 0 $ 为“美好方程”。
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与 $ 4x - 2 = x + 10 $ 是“美好方程”,求 $ m $ 的值；
(2) 若“美好方程”的两个解的差为 8,其中一个解为 $ n $,求 $ n $ 的值。
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与 $ 4x - 2 = x + 10 $ 是“美好方程”,求 $ m $ 的值；
(2) 若“美好方程”的两个解的差为 8,其中一个解为 $ n $,求 $ n $ 的值。
答案：解: (1) 因为 $ 3x + m = 0 $, 所以 $ x = -\frac{m}{3} $.
因为 $ 4x - 2 = x + 10 $, 所以 $ x = 4 $.
因为关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与 $ 4x - 2 = x + 10 $ 是“美好方程”, 所以 $ -\frac{m}{3} + 4 = 1 $, 解得 $ m = 9 $;
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为 1, 其中一个解为 $ n $,
所以另一个方程的解为 $ 1 - n $.
因为两个解的差为 8,
所以 $ 1 - n - n = 8 $ 或 $ n - (1 - n) = 8 $,
解得 $ n = -\frac{7}{2} $ 或 $ n = \frac{9}{2} $.
因为 $ 4x - 2 = x + 10 $, 所以 $ x = 4 $.
因为关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与 $ 4x - 2 = x + 10 $ 是“美好方程”, 所以 $ -\frac{m}{3} + 4 = 1 $, 解得 $ m = 9 $;
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为 1, 其中一个解为 $ n $,
所以另一个方程的解为 $ 1 - n $.
因为两个解的差为 8,
所以 $ 1 - n - n = 8 $ 或 $ n - (1 - n) = 8 $,
解得 $ n = -\frac{7}{2} $ 或 $ n = \frac{9}{2} $.
7. 定义：若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax = b $ 的解为 $ x = b + a $,则称该方程为“和解方程”,例如：$ 2x = -4 $ 的解为 $ x = -2 $,且 $ -2 = -4 + 2 $,则方程 $ 2x = -4 $ 是“和解方程”。
(1) 判断 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是否是“和解方程”,并说明理由；
(2) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是“和解方程”,求 $ m $ 的值。
(1) 判断 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是否是“和解方程”,并说明理由；
(2) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是“和解方程”,求 $ m $ 的值。
答案：解: (1) 是. 理由: 因为 $ -3x = \frac{9}{4} $, 所以 $ x = -\frac{3}{4} $.
因为 $ \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4} $, 所以 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是“和解方程”;
(2) 解方程 $ 5x = m - 2 $, 得 $ x = \frac{m - 2}{5} $.
因为关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是“和解方程”, 所以
$ m - 2 + 5 = \frac{m - 2}{5} $,
解得 $ m = -\frac{17}{4} $.
因为 $ \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4} $, 所以 $ -3x = \frac{9}{4} $ 是“和解方程”;
(2) 解方程 $ 5x = m - 2 $, 得 $ x = \frac{m - 2}{5} $.
因为关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m - 2 $ 是“和解方程”, 所以
$ m - 2 + 5 = \frac{m - 2}{5} $,
解得 $ m = -\frac{17}{4} $.
8. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{25}{3}x - m = \frac{5}{12}x + 18 $ 有一个正整数解,则 $ m $ 的最小正数值是多少？并求出方程相应的解。
答案：解: 由 $ \frac{25}{3}x - m = \frac{5}{12}x + 18 $, 得
$ 100x - 12m = 5x + 216 $,
即 $ 95x = 216 + 12m $,
解得 $ x = \frac{216 + 12m}{95} $.
要使 $ x $ 为正整数, $ m $ 取最小的正数,
则 $ m = \frac{23}{4} $, $ x = 3 $.
$ 100x - 12m = 5x + 216 $,
即 $ 95x = 216 + 12m $,
解得 $ x = \frac{216 + 12m}{95} $.
要使 $ x $ 为正整数, $ m $ 取最小的正数,
则 $ m = \frac{23}{4} $, $ x = 3 $.
9. 若 $ a $,$ b $ 为定值,关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2ka + x}{3} - \frac{x - bx}{6} = 2 $,无论 $ k $ 为何值时,它的解总是 1,求 $ a $,$ b $ 的值。
答案：解: 去分母, 得 $ 4ka + 2x - x + bx = 12 $,
因为方程的解与 $ k $ 的值无关,
所以 $ 4a = 0 $, 解得 $ a = 0 $,
把 $ x = 1 $, $ a = 0 $ 代入方程, 得 $ 2 - 1 + b = 12 $, 解得 $ b = 11 $.
所以 $ a $ 的值为 0, $ b $ 的值为 11.
因为方程的解与 $ k $ 的值无关,
所以 $ 4a = 0 $, 解得 $ a = 0 $,
把 $ x = 1 $, $ a = 0 $ 代入方程, 得 $ 2 - 1 + b = 12 $, 解得 $ b = 11 $.
所以 $ a $ 的值为 0, $ b $ 的值为 11.