12. 已知关于$x的一元一次方程\frac{3x - 1}{2} + m = 3$,其中$m$是正整数。
(1)当$m = 2$时,求方程的解；
(2)若方程有正整数解,求$m$的值。
(1)当$m = 2$时,求方程的解；
(2)若方程有正整数解,求$m$的值。
答案：(1) 当 $m = 2$ 时，原方程为 $\frac{3x - 1}{2} + 2 = 3$。移项、去分母，得 $3x - 1 = 2$，移项、合并同类项，得 $3x = 3$，系数化为 1，得 $x = 1$。所以当 $m = 2$ 时，方程的解是 $x = 1$。(2) 去分母，得 $3x - 1 + 2m = 6$，移项、合并同类项，得 $3x = 7 - 2m$，系数化为 1，得 $x = \frac{7 - 2m}{3}$。因为 $m$ 是正整数，且方程有正整数解，所以 $m = 2$。
解析：
(1) 当 $ m = 2 $ 时，原方程为 $\frac{3x - 1}{2} + 2 = 3$。
移项，得 $\frac{3x - 1}{2} = 3 - 2$，即 $\frac{3x - 1}{2} = 1$。
去分母，得 $3x - 1 = 2$。
移项、合并同类项，得 $3x = 3$。
系数化为 1，得 $x = 1$。
(2) 原方程 $\frac{3x - 1}{2} + m = 3$。
去分母，得 $3x - 1 + 2m = 6$。
移项、合并同类项，得 $3x = 7 - 2m$。
系数化为 1，得 $x = \frac{7 - 2m}{3}$。
因为 $m$ 是正整数，方程有正整数解，所以 $7 - 2m$ 是 3 的正整数倍。
当 $7 - 2m = 3$ 时，$m = 2$，此时 $x = 1$（正整数）；
当 $7 - 2m = 6$ 时，$m = 0.5$（不是正整数，舍去）；
当 $7 - 2m \geq 9$ 时，$m \leq -1$（不是正整数，舍去）。
故 $m = 2$。
移项，得 $\frac{3x - 1}{2} = 3 - 2$，即 $\frac{3x - 1}{2} = 1$。
去分母，得 $3x - 1 = 2$。
移项、合并同类项，得 $3x = 3$。
系数化为 1，得 $x = 1$。
(2) 原方程 $\frac{3x - 1}{2} + m = 3$。
去分母，得 $3x - 1 + 2m = 6$。
移项、合并同类项，得 $3x = 7 - 2m$。
系数化为 1，得 $x = \frac{7 - 2m}{3}$。
因为 $m$ 是正整数，方程有正整数解，所以 $7 - 2m$ 是 3 的正整数倍。
当 $7 - 2m = 3$ 时，$m = 2$，此时 $x = 1$（正整数）；
当 $7 - 2m = 6$ 时，$m = 0.5$（不是正整数，舍去）；
当 $7 - 2m \geq 9$ 时，$m \leq -1$（不是正整数，舍去）。
故 $m = 2$。
13. 某同学在对方程$\frac{2x + 1}{2} - \frac{5x + a}{4} = 1$去分母时,方程右边的 1 没有乘 4,这时方程的解为$x = 2$,试求$a$的值,并求出原方程正确的解。
答案：解：根据题意，得 $x = 2$ 是方程 $2(2x + 1) - (5x + a) = 1$ 的解，所以 $2×(2×2 + 1) - (5×2 + a) = 1$，解得 $a = -1$。把 $a = -1$ 代入到原方程中，得 $\frac{2x + 1}{2} - \frac{5x - 1}{4} = 1$，去分母，得 $2(2x + 1) - (5x - 1) = 4$，解得 $x = -1$。
解析：
解：根据题意，该同学去分母时方程右边的1没有乘4，此时方程为$2(2x + 1)-(5x + a)=1$。
因为此时方程的解为$x = 2$，将$x = 2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 + 1)-(5×2 + a)=1$
$2×5-(10 + a)=1$
$10 - 10 - a=1$
解得$a=-1$。
将$a = -1$代入原方程$\frac{2x + 1}{2}-\frac{5x + a}{4}=1$，得：
$\frac{2x + 1}{2}-\frac{5x - 1}{4}=1$
去分母，两边同乘4，得：
$2(2x + 1)-(5x - 1)=4$
$4x + 2 - 5x + 1=4$
$-x + 3=4$
$-x=1$
解得$x=-1$。
综上，$a$的值为$-1$，原方程正确的解为$x=-1$。
因为此时方程的解为$x = 2$，将$x = 2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 + 1)-(5×2 + a)=1$
$2×5-(10 + a)=1$
$10 - 10 - a=1$
解得$a=-1$。
将$a = -1$代入原方程$\frac{2x + 1}{2}-\frac{5x + a}{4}=1$，得：
$\frac{2x + 1}{2}-\frac{5x - 1}{4}=1$
去分母，两边同乘4，得：
$2(2x + 1)-(5x - 1)=4$
$4x + 2 - 5x + 1=4$
$-x + 3=4$
$-x=1$
解得$x=-1$。
综上，$a$的值为$-1$，原方程正确的解为$x=-1$。
14. 先阅读下面的解题过程,再解答问题。
解方程：$|x - 5| = 2$。
解：当$x - 5\geqslant 0$时,原方程可化为$x - 5 = 2$,解得$x = 7$；
当$x - 5\lt 0$时,原方程可化为$x - 5 = -2$,解得$x = 3$。
所以原方程的解是$x = 7或x = 3$。
(1)解方程：$|2x + 1| = 7$。
(2)已知关于$x的方程|x + 3| = m - 1$。
①若方程无解,则$m$的取值范围是
②若方程只有一个解,则$m$的值为
③若方程有两个解,则$m$的取值范围是
解方程：$|x - 5| = 2$。
解：当$x - 5\geqslant 0$时,原方程可化为$x - 5 = 2$,解得$x = 7$；
当$x - 5\lt 0$时,原方程可化为$x - 5 = -2$,解得$x = 3$。
所以原方程的解是$x = 7或x = 3$。
(1)解方程：$|2x + 1| = 7$。
解：当 $2x + 1 ≥ 0$ 时，原方程可化为 $2x + 1 = 7$，解得 $x = 3$；当 $2x + 1 ＜ 0$ 时，原方程可化为 $2x + 1 = -7$，解得 $x = -4$。所以原方程的解是 $x = 3$ 或 $x = -4$。
(2)已知关于$x的方程|x + 3| = m - 1$。
①若方程无解,则$m$的取值范围是
$m ＜ 1$
；②若方程只有一个解,则$m$的值为
1
；③若方程有两个解,则$m$的取值范围是
$m ＞ 1$
。答案：(1) 解：当 $2x + 1 ≥ 0$ 时，原方程可化为 $2x + 1 = 7$，解得 $x = 3$；当 $2x + 1 ＜ 0$ 时，原方程可化为 $2x + 1 = -7$，解得 $x = -4$。所以原方程的解是 $x = 3$ 或 $x = -4$。(2) ① $m ＜ 1$ ② 1 ③ $m ＞ 1$
15. 是否存在这样的$x$的值,使得下列三个代数式：$x - \frac{x - 1}{3}$,$x^{2} - 6x - 2$,$7 - \frac{x + 3}{5}$的值均相等？若存在,求出这样的$x$的值；若不存在,请说明理由。
答案：解：存在. 根据题意，得 $x - \frac{x - 1}{3} = 7 - \frac{x + 3}{5}$，去分母，得 $15x - 5x + 5 = 105 - 3x - 9$，解得 $x = 7$。将 $x = 7$ 分别代入代数式，得 $x - \frac{x - 1}{3} = 7 - \frac{7 - 1}{3} = 5$，$x^2 - 6x - 2 = 7^2 - 6×7 - 2 = 5$，$7 - \frac{x + 3}{5} = 7 - \frac{7 + 3}{5} = 5$，上述代数式的值均为 5，所以存在 $x = 7$ 满足题意。
解析：
解：存在。
根据题意，得 $ x - \frac{x - 1}{3} = 7 - \frac{x + 3}{5} $
去分母，得 $ 15x - 5(x - 1) = 105 - 3(x + 3) $
去括号，得 $ 15x - 5x + 5 = 105 - 3x - 9 $
移项、合并同类项，得 $ 13x = 91 $
解得 $ x = 7 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ x - \frac{x - 1}{3} $，得 $ 7 - \frac{7 - 1}{3} = 5 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ x^2 - 6x - 2 $，得 $ 7^2 - 6×7 - 2 = 5 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ 7 - \frac{x + 3}{5} $，得 $ 7 - \frac{7 + 3}{5} = 5 $
所以存在 $ x = 7 $ 满足题意。
根据题意，得 $ x - \frac{x - 1}{3} = 7 - \frac{x + 3}{5} $
去分母，得 $ 15x - 5(x - 1) = 105 - 3(x + 3) $
去括号，得 $ 15x - 5x + 5 = 105 - 3x - 9 $
移项、合并同类项，得 $ 13x = 91 $
解得 $ x = 7 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ x - \frac{x - 1}{3} $，得 $ 7 - \frac{7 - 1}{3} = 5 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ x^2 - 6x - 2 $，得 $ 7^2 - 6×7 - 2 = 5 $
将 $ x = 7 $ 代入 $ 7 - \frac{x + 3}{5} $，得 $ 7 - \frac{7 + 3}{5} = 5 $
所以存在 $ x = 7 $ 满足题意。