1. 某中学学生步行去郊游. 七年级(1)班学生组成前队, 步行速度为 4 千米/时, 七年级(2)班的学生组成后队, 速度为 6 千米/时; 前队出发 1 小时后, 后队才出发, 同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络, 他骑车的速度为 10 千米/时.
(1)后队追上前队需要多少小时?
(2)后队追上前队时间内, 联络员走的路程是多少千米?
(3)两队何时相距 2 千米?
(1)后队追上前队需要多少小时?
(2)后队追上前队时间内, 联络员走的路程是多少千米?
(3)两队何时相距 2 千米?
答案：1. 解: (1) 设后队追上前队需要 $ x $ 小时,
由题意, 得 $ (6 - 4)x = 4×1 $, 解得 $ x = 2 $.
答: 后队追上前队需要 2 小时.
(2) 后队追上前队时间内, 联络员走的路程就是在这 2 小时内所走的路程,
所以 $ 10×2 = 20 $ (千米).
答: 后队追上前队时间内, 联络员走的路程是 20 千米.
(3) 分以下三种情况讨论:
① 当七年级 (1) 班出发 0.5 小时后, 两队相距 $ 4×0.5 = 2 $ (千米);
② 当七年级 (2) 班还没有超过七年级 (1) 班时, 相距 2 千米,
设七年级 (2) 班需 $ y $ 小时与七年级 (1) 班相距 2 千米,
由题意, 得 $ 6y + 2 = 4y + 4 $, 解得 $ y = 1 $;
所以当七年级 (2) 班出发 1 小时后两队相距 2 千米;
③ 当七年级 (2) 班超过七年级 (1) 班后, 七年级 (1) 班与七年级 (2) 班再次相距 2 千米时, 设七年级 (2) 班出发了 $ m $ 小时, 则 $ 6m - 2 = 4m + 4 $, 解得 $ m = 3 $.
答: 当七年级 (1) 班出发 0.5 小时或七年级 (2) 班出发 1 小时或七年级 (2) 班出发 3 小时后, 两队相距 2 千米.
由题意, 得 $ (6 - 4)x = 4×1 $, 解得 $ x = 2 $.
答: 后队追上前队需要 2 小时.
(2) 后队追上前队时间内, 联络员走的路程就是在这 2 小时内所走的路程,
所以 $ 10×2 = 20 $ (千米).
答: 后队追上前队时间内, 联络员走的路程是 20 千米.
(3) 分以下三种情况讨论:
① 当七年级 (1) 班出发 0.5 小时后, 两队相距 $ 4×0.5 = 2 $ (千米);
② 当七年级 (2) 班还没有超过七年级 (1) 班时, 相距 2 千米,
设七年级 (2) 班需 $ y $ 小时与七年级 (1) 班相距 2 千米,
由题意, 得 $ 6y + 2 = 4y + 4 $, 解得 $ y = 1 $;
所以当七年级 (2) 班出发 1 小时后两队相距 2 千米;
③ 当七年级 (2) 班超过七年级 (1) 班后, 七年级 (1) 班与七年级 (2) 班再次相距 2 千米时, 设七年级 (2) 班出发了 $ m $ 小时, 则 $ 6m - 2 = 4m + 4 $, 解得 $ m = 3 $.
答: 当七年级 (1) 班出发 0.5 小时或七年级 (2) 班出发 1 小时或七年级 (2) 班出发 3 小时后, 两队相距 2 千米.
2. A, B 两地相距 360 km, 甲、乙两车分别沿同一条路线从 A 地出发驶往 B 地, 已知甲车的速度为 60 km/h, 乙车的速度为 90 km/h, 甲车先出发, 1 h 后乙车再出发, 乙车到达 B 地后在原地等甲车. 求:
(1)乙车出发多少小时后追上甲车?
(2)乙车出发多少小时后与甲车相距 50 km?
(1)乙车出发多少小时后追上甲车?
(2)乙车出发多少小时后与甲车相距 50 km?
答案：2. 解: (1) 设乙车出发 $ x $ h 后追上甲车, 根据题意, 得
$ 60 + 60x = 90x $, 解得 $ x = 2 $.
答: 乙车出发 2 h 后追上甲车.
(2) 设乙车出发 $ t $ h 后与甲车相距 50 km, 存在以下三种情况:
① 乙车出发后在追上甲车之前, 两车相距 50 km, 则有
$ 60 + 60t = 90t + 50 $, 解得 $ t = \frac{1}{3} $;
② 乙车超过甲车且到达 B 地之前, 两车相距 50 km, 则有
$ 60 + 60t + 50 = 90t $, 解得 $ t = \frac{11}{3} $;
③ 乙车到达 B 地而甲车未到达 B 地, 两车相距 50 km,
则有 $ 60 + 60t + 50 = 360 $, 解得 $ t = \frac{25}{6} $.
答: 乙车出发 $ \frac{1}{3} $ h, $ \frac{11}{3} $ h 或 $ \frac{25}{6} $ h 后与甲车相距 50 km.
$ 60 + 60x = 90x $, 解得 $ x = 2 $.
答: 乙车出发 2 h 后追上甲车.
(2) 设乙车出发 $ t $ h 后与甲车相距 50 km, 存在以下三种情况:
① 乙车出发后在追上甲车之前, 两车相距 50 km, 则有
$ 60 + 60t = 90t + 50 $, 解得 $ t = \frac{1}{3} $;
② 乙车超过甲车且到达 B 地之前, 两车相距 50 km, 则有
$ 60 + 60t + 50 = 90t $, 解得 $ t = \frac{11}{3} $;
③ 乙车到达 B 地而甲车未到达 B 地, 两车相距 50 km,
则有 $ 60 + 60t + 50 = 360 $, 解得 $ t = \frac{25}{6} $.
答: 乙车出发 $ \frac{1}{3} $ h, $ \frac{11}{3} $ h 或 $ \frac{25}{6} $ h 后与甲车相距 50 km.
3. 一条河中有甲、乙两艘船, 现它们同时从 A 地顺流而行, 乙船到 B 地时接到通知要立即调头(调头时间不计)到 A, B 两地之间的 C 地执行任务, 甲船则继续顺流而行. 已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是 7.5 千米/时, 水流速度是 2.5 千米/时, A, C 两地的距离为 10 千米. 如果乙船由 A 地经 B 地再到 C 地共用 4 小时, 那么乙船从 B 地到 C 地时, 甲船驶离 B 地多少千米?
答案：3. 解: 设 B 地与 C 地的距离为 $ x $ 千米,
由题意, 得 $ \frac{10 + x}{7.5 + 2.5} + \frac{x}{7.5 - 2.5} = 4 $,
解得 $ x = 10 $,
则乙船从 B 地到 C 地时, 甲船驶离 B 地的距离为 $ (7.5 + 2.5)×\frac{10}{7.5 - 2.5} = 20 $ (千米).
答: 乙船从 B 地到 C 地时, 甲船驶离 B 地 20 千米.
由题意, 得 $ \frac{10 + x}{7.5 + 2.5} + \frac{x}{7.5 - 2.5} = 4 $,
解得 $ x = 10 $,
则乙船从 B 地到 C 地时, 甲船驶离 B 地的距离为 $ (7.5 + 2.5)×\frac{10}{7.5 - 2.5} = 20 $ (千米).
答: 乙船从 B 地到 C 地时, 甲船驶离 B 地 20 千米.