14. 某个长方体的表面展开图如图所示,各个面上分别标有1~6的不同数字,若将其围成长方体,则这个长方体有公共顶点的三个面上的数字之和最大是______
14
.答案：14
解析：
解：由长方体表面展开图可知，相对面数字为：2与5，4与6，3与1。
有公共顶点的三个面为三组非相对面，可能组合及和为：
2、4、3：2+4+3=9
2、4、1：2+4+1=7
2、6、3：2+6+3=11
2、6、1：2+6+1=9
5、4、3：5+4+3=12
5、4、1：5+4+1=10
5、6、3：5+6+3=14
5、6、1：5+6+1=12
最大和为14。
14
有公共顶点的三个面为三组非相对面，可能组合及和为：
2、4、3：2+4+3=9
2、4、1：2+4+1=7
2、6、3：2+6+3=11
2、6、1：2+6+1=9
5、4、3：5+4+3=12
5、4、1：5+4+1=10
5、6、3：5+6+3=14
5、6、1：5+6+1=12
最大和为14。
14
15. 四棱锥有
5
个顶点,5
个面,8
条棱.答案：5 5 8
16. 如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为5和4π的长方形,那么圆柱的体积是
$ 20\pi $ 或 25
.答案：$ 20\pi $ 或 25
解析：
解：情况一：当圆柱底面周长为5，高为4π时，
底面半径$r = \frac{5}{2\pi}$，
体积$V = \pi r^2 h = \pi (\frac{5}{2\pi})^2 × 4\pi = \pi × \frac{25}{4\pi^2} × 4\pi = 25$。
情况二：当圆柱底面周长为4π，高为5时，
底面半径$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$，
体积$V = \pi r^2 h = \pi × 2^2 × 5 = 20\pi$。
答案：20π 或 25
底面半径$r = \frac{5}{2\pi}$，
体积$V = \pi r^2 h = \pi (\frac{5}{2\pi})^2 × 4\pi = \pi × \frac{25}{4\pi^2} × 4\pi = 25$。
情况二：当圆柱底面周长为4π，高为5时，
底面半径$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$，
体积$V = \pi r^2 h = \pi × 2^2 × 5 = 20\pi$。
答案：20π 或 25
17. 如图①,将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6,2和5,3和4)放置于水平桌面上.如图②,将骰子向右翻转$90^{\circ }$,然后在桌面上按逆时针方向旋转$90^{\circ }$,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图①所示的状态,那么按上述规则连续完成2次变换后,骰子朝上一面的点数是______
6
;连续完成2025次变换后,骰子朝上一面的点数是______3
.答案：6 3
解析：
解：初始状态骰子朝上一面点数为1。
第一次变换：
1. 向右翻转90°，此时朝上一面点数变为5；
2. 逆时针旋转90°，朝上一面点数变为6。
第二次变换：
1. 向右翻转90°，朝上一面点数变为2；
2. 逆时针旋转90°，朝上一面点数变为3。
观察变换规律，每3次变换为一个循环（6，3，1）。
2025÷3=675，整除，故2025次变换后朝上一面点数为1所在循环位置的最后一个数3。
6；3
第一次变换：
1. 向右翻转90°，此时朝上一面点数变为5；
2. 逆时针旋转90°，朝上一面点数变为6。
第二次变换：
1. 向右翻转90°，朝上一面点数变为2；
2. 逆时针旋转90°，朝上一面点数变为3。
观察变换规律，每3次变换为一个循环（6，3，1）。
2025÷3=675，整除，故2025次变换后朝上一面点数为1所在循环位置的最后一个数3。
6；3
18. 如图,在一次数学活动课上,小明用17个棱长为1的小正方体搭成了一个几何体,然后他请小亮用其他相同大小的小正方体在旁边再搭一个几何体,使小亮所搭几何体恰好可以和他所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变小明所搭几何体的形状),那么小亮至少还需要
19
个小正方体,小亮所搭几何体的表面积为48
.答案：19 48
解析：
解：由图可知小明所搭几何体底层有8个小正方体，第二层有5个，第三层有3个，第四层有1个，共8+5+3+1=17个。
观察几何体的长、宽、高，要拼成无缝隙大长方体，大长方体的长、宽、高至少为4、3、3，体积为4×3×3=36。
小亮至少需要小正方体：36-17=19个。
小亮所搭几何体的表面积计算：从不同方向看，前后各8个面，左右各7个面，上下各9个面，表面积为(8+7+9)×2=48。
19 48
观察几何体的长、宽、高，要拼成无缝隙大长方体，大长方体的长、宽、高至少为4、3、3，体积为4×3×3=36。
小亮至少需要小正方体：36-17=19个。
小亮所搭几何体的表面积计算：从不同方向看，前后各8个面，左右各7个面，上下各9个面，表面积为(8+7+9)×2=48。
19 48
19. (10分)如图是我们常见的几何体,按要求将其分类.(填序号)
(1)如果按“柱体”“锥体”“球”来分,柱体有
(2)如果按“有无曲面”来分,有曲面的有
(1)如果按“柱体”“锥体”“球”来分,柱体有
①②⑥
,锥体有③④
,球有⑤
;(2)如果按“有无曲面”来分,有曲面的有
②③⑤
,无曲面的有①④⑥
.答案：(1)①②⑥ ③④ ⑤
(2)②③⑤ ①④⑥
(2)②③⑤ ①④⑥
20. (10分)如图是一个正方体的表面展开图,每个面上都有一个字母,请解答下列问题:
(1)与“B”“C”所在面相对的面上的字母分别是
(2)若$A= a^{3}+\frac {1}{5}a^{2}b+3,B= \frac {1}{2}a^{2}b+a^{3},C= a^{3}-1,D= -\frac {1}{5}(a^{2}b+15)$,且相对两个面上的字母所表示的代数式的和都相等,分别求E,F所表示的代数式.
解:根据题意,得 $ A + D = B + F = C + E $,
代入可得 $ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b + a ^ { 3 } + F $,
$ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = a ^ { 3 } - 1 + E $,
解得 $ F = - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b $, $ E = 1 $.
(1)与“B”“C”所在面相对的面上的字母分别是
F
,E
;(2)若$A= a^{3}+\frac {1}{5}a^{2}b+3,B= \frac {1}{2}a^{2}b+a^{3},C= a^{3}-1,D= -\frac {1}{5}(a^{2}b+15)$,且相对两个面上的字母所表示的代数式的和都相等,分别求E,F所表示的代数式.
解:根据题意,得 $ A + D = B + F = C + E $,
代入可得 $ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b + a ^ { 3 } + F $,
$ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = a ^ { 3 } - 1 + E $,
解得 $ F = - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b $, $ E = 1 $.
答案：(1)F E
(2)解:根据题意,得 $ A + D = B + F = C + E $,
代入可得 $ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b + a ^ { 3 } + F $,
$ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = a ^ { 3 } - 1 + E $,
解得 $ F = - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b $, $ E = 1 $.
(2)解:根据题意,得 $ A + D = B + F = C + E $,
代入可得 $ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b + a ^ { 3 } + F $,
$ a ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } a ^ { 2 } b + 3 + \left[ - \frac { 1 } { 5 } ( a ^ { 2 } b + 15 ) \right] = a ^ { 3 } - 1 + E $,
解得 $ F = - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } b $, $ E = 1 $.