7. 如果线段$AB= 10\mathrm{cm}$,$M$是平面内一点,且$MA+MB= 15\mathrm{cm}$,那么下列说法中正确的是(
A.点$M一定在线段AB$上
B.点$M一定不在线段AB$上
C.点$M有可能在线段AB$上
D.点$M一定在直线AB$上
B
)A.点$M一定在线段AB$上
B.点$M一定不在线段AB$上
C.点$M有可能在线段AB$上
D.点$M一定在直线AB$上
答案：B
解析：
解：若点M在线段AB上，则MA+MB=AB=10cm。
∵MA+MB=15cm≠10cm，
∴点M一定不在线段AB上。
答案：B
∵MA+MB=15cm≠10cm，
∴点M一定不在线段AB上。
答案：B
8. (2024·海陵区三模)已知$\angle \alpha =42^{\circ}12'$,与$\angle \alpha$互余的角的度数是(
A.$132^{\circ}12'$
B.$137^{\circ}48'$
C.$57^{\circ}48'$
D.$47^{\circ}48'$
D
)A.$132^{\circ}12'$
B.$137^{\circ}48'$
C.$57^{\circ}48'$
D.$47^{\circ}48'$
答案：D
解析：
解：因为互余的两个角的和为$90^{\circ}$，$\angle\alpha = 42^{\circ}12'$，所以与$\angle\alpha$互余的角的度数是$90^{\circ}-42^{\circ}12' = 47^{\circ}48'$。
D
D
9. 已知线段$AB= 2025\mathrm{cm}$,$C是直线AB$上一点,$BC= 1000\mathrm{cm}$,若$M是AC$的中点,$N是BC$的中点,则线段$MN$的长度是(
A.$1012.5\mathrm{cm}$
B.$512.5\mathrm{cm}$
C.$1512.5\mathrm{cm}$
D.$512.5\mathrm{cm}或1512.5\mathrm{cm}$
A
)A.$1012.5\mathrm{cm}$
B.$512.5\mathrm{cm}$
C.$1512.5\mathrm{cm}$
D.$512.5\mathrm{cm}或1512.5\mathrm{cm}$
答案：A
解析：
解：分两种情况讨论：
情况一：点C在线段AB上
∵ $ AB = 2025\,\text{cm} $, $ BC = 1000\,\text{cm} $
∴ $ AC = AB - BC = 2025 - 1000 = 1025\,\text{cm} $
∵ M是AC中点，N是BC中点
∴ $ MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 1025 = 512.5\,\text{cm} $
$ CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 1000 = 500\,\text{cm} $
∴ $ MN = MC + CN = 512.5 + 500 = 1012.5\,\text{cm} $
情况二：点C在线段AB的延长线上
∵ $ AB = 2025\,\text{cm} $, $ BC = 1000\,\text{cm} $
∴ $ AC = AB + BC = 2025 + 1000 = 3025\,\text{cm} $
∵ M是AC中点，N是BC中点
∴ $ MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 3025 = 1512.5\,\text{cm} $
$ CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 1000 = 500\,\text{cm} $
∴ $ MN = MC - CN = 1512.5 - 500 = 1012.5\,\text{cm} $
综上，线段MN的长度为$ 1012.5\,\text{cm} $。
答案：A
情况一：点C在线段AB上
∵ $ AB = 2025\,\text{cm} $, $ BC = 1000\,\text{cm} $
∴ $ AC = AB - BC = 2025 - 1000 = 1025\,\text{cm} $
∵ M是AC中点，N是BC中点
∴ $ MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 1025 = 512.5\,\text{cm} $
$ CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 1000 = 500\,\text{cm} $
∴ $ MN = MC + CN = 512.5 + 500 = 1012.5\,\text{cm} $
情况二：点C在线段AB的延长线上
∵ $ AB = 2025\,\text{cm} $, $ BC = 1000\,\text{cm} $
∴ $ AC = AB + BC = 2025 + 1000 = 3025\,\text{cm} $
∵ M是AC中点，N是BC中点
∴ $ MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 3025 = 1512.5\,\text{cm} $
$ CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 1000 = 500\,\text{cm} $
∴ $ MN = MC - CN = 1512.5 - 500 = 1012.5\,\text{cm} $
综上，线段MN的长度为$ 1012.5\,\text{cm} $。
答案：A
10. 如图①,在长方形纸片$ABCD$中,点$E在AD$上,且$\angle AEB= 60^{\circ}$,分别以$BE$,$CE$为折痕进行折叠并压平,如图②,若$\angle A'ED'= 10^{\circ}$,则$\angle DEC$的度数为(
A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
C
)A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案：C
解析：
解：设∠DEC = x。
由折叠性质得：∠AEB = ∠A'EB = 60°，∠DEC = ∠D'EC = x。
∵∠A'EB + ∠A'ED' + ∠D'EC = 180°，∠A'ED' = 10°，
∴60° + 10° + x = 180°，
解得x = 35°。
答案：C
由折叠性质得：∠AEB = ∠A'EB = 60°，∠DEC = ∠D'EC = x。
∵∠A'EB + ∠A'ED' + ∠D'EC = 180°，∠A'ED' = 10°，
∴60° + 10° + x = 180°，
解得x = 35°。
答案：C
11. $30.12^{\circ}=$
30
${}^{\circ }$7
$'$12
$''$；$100^{\circ}12'36''= $100.21
${}^{\circ }$.答案：30 7 12 100.21
解析：
解：$0.12^{\circ} = 0.12 × 60' = 7.2'$，$0.2' = 0.2 × 60'' = 12''$，所以$30.12^{\circ} = 30^{\circ}7'12''$；
$36'' = 36 ÷ 60' = 0.6'$，$12.6' = 12.6 ÷ 60^{\circ} = 0.21^{\circ}$，所以$100^{\circ}12'36'' = 100.21^{\circ}$。
30 7 12；100.21
$36'' = 36 ÷ 60' = 0.6'$，$12.6' = 12.6 ÷ 60^{\circ} = 0.21^{\circ}$，所以$100^{\circ}12'36'' = 100.21^{\circ}$。
30 7 12；100.21
12. 如图,直线$AB与直线CD相交于点O$,$OE\perp AB$,垂足为$O$,若$\angle AOD= 131^{\circ}$,则$\angle COE$的度数是
41°
.答案：41°
解析：
解：因为直线AB与直线CD相交于点O，
所以∠AOC与∠AOD互为邻补角，
即∠AOC + ∠AOD = 180°。
已知∠AOD = 131°，
所以∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 131° = 49°。
因为OE⊥AB，
所以∠AOE = 90°。
又因为∠AOE = ∠AOC + ∠COE，
所以∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 49° = 41°。
41°
所以∠AOC与∠AOD互为邻补角，
即∠AOC + ∠AOD = 180°。
已知∠AOD = 131°，
所以∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 131° = 49°。
因为OE⊥AB，
所以∠AOE = 90°。
又因为∠AOE = ∠AOC + ∠COE，
所以∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 49° = 41°。
41°
13. 过15分钟,时钟的分针转了
90
${}^{\circ }$的角,时针转了7.5
${}^{\circ }$的角.答案：90 7.5
解析：
分针：因为时钟一圈为$360^{\circ}$，共$60$分钟，所以分针每分钟转$360^{\circ}÷60 = 6^{\circ}$。过$15$分钟，分针转了$15×6^{\circ}=90^{\circ}$。
时针：时钟一圈为$360^{\circ}$，共$12$小时，$1$小时$=60$分钟，所以时针每分钟转$360^{\circ}÷(12×60)=0.5^{\circ}$。过$15$分钟，时针转了$15×0.5^{\circ}=7.5^{\circ}$。
90；7.5
时针：时钟一圈为$360^{\circ}$，共$12$小时，$1$小时$=60$分钟，所以时针每分钟转$360^{\circ}÷(12×60)=0.5^{\circ}$。过$15$分钟，时针转了$15×0.5^{\circ}=7.5^{\circ}$。
90；7.5
14. (2024·建邺区二模)若$\angle \alpha$的补角是它的余角的4倍,则$\angle \alpha$的度数为
60°
.答案：60°
解析：
解：设∠α的度数为x°，则它的补角为(180-x)°，余角为(90-x)°.
依题意，得180-x=4(90-x)，
解得x=60.
60°
依题意，得180-x=4(90-x)，
解得x=60.
60°
15. 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起,其中$B$,$C$,$D$三点在同一直线上,$CM平分\angle ACB$,$CN平分\angle DCE$,则$\angle MCN$的度数为
127.5°
.答案：127.5°
解析：
解：
∵一副三角尺中，∠ACB=45°，∠ECD=60°，
CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，
∴∠MCB=∠ACB/2=45°/2=22.5°，
∠NCD=∠ECD/2=60°/2=30°，
∵B，C，D三点共线，
∴∠MCN=180°-∠MCB-∠NCD=180°-22.5°-30°=127.5°．
127.5°
∵一副三角尺中，∠ACB=45°，∠ECD=60°，
CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，
∴∠MCB=∠ACB/2=45°/2=22.5°，
∠NCD=∠ECD/2=60°/2=30°，
∵B，C，D三点共线，
∴∠MCN=180°-∠MCB-∠NCD=180°-22.5°-30°=127.5°．
127.5°
16. 如图,图中已标明了三组互相垂直的线段,那么点$B到AC$的距离是
线段BF的长
,点$C到AB$的距离是线段CE的长
.答案：线段BF的长 线段CE的长
解析：
点$B$到$AC$的距离是线段$BF$的长，点$C$到$AB$的距离是线段$CE$的长。
17. 已知$\angle AOB= 35^{\circ}$,以$O为顶点作射线OC$,$OD$. 若$\angle AOC= 2\angle AOB$,$OD\perp OB$,则$\angle COD$的度数为
15°或55°或125°或165°
.答案：15°或55°或125°或165°
解析：
解：
∵∠AOB=35°，∠AOC=2∠AOB，
∴∠AOC=70°。
情况1：OC在∠AOB外部（OA逆时针方向）
此时∠BOC=∠AOC-∠AOB=70°-35°=35°。
∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°。
OD在OB上方：∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-35°=55°；
OD在OB下方：∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+35°=125°。
情况2：OC在∠AOB外部（OA顺时针方向）
此时∠BOC=∠AOC+∠AOB=70°+35°=105°。
∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°。
OD在OB上方：∠COD=∠BOC-∠BOD=105°-90°=15°；
OD在OB下方：∠COD=∠BOC+∠BOD=105°+90°=195°（超出平角，舍去）或∠COD=360°-195°=165°。
综上，∠COD的度数为15°或55°或125°或165°。
答案：15°或55°或125°或165°
∵∠AOB=35°，∠AOC=2∠AOB，
∴∠AOC=70°。
情况1：OC在∠AOB外部（OA逆时针方向）
此时∠BOC=∠AOC-∠AOB=70°-35°=35°。
∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°。
OD在OB上方：∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-35°=55°；
OD在OB下方：∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+35°=125°。
情况2：OC在∠AOB外部（OA顺时针方向）
此时∠BOC=∠AOC+∠AOB=70°+35°=105°。
∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°。
OD在OB上方：∠COD=∠BOC-∠BOD=105°-90°=15°；
OD在OB下方：∠COD=∠BOC+∠BOD=105°+90°=195°（超出平角，舍去）或∠COD=360°-195°=165°。
综上，∠COD的度数为15°或55°或125°或165°。
答案：15°或55°或125°或165°
18. 把一根绳子对折成一条线段$AB$,在线段$AB上取一点P$,使$AP= \frac{1}{3}PB$,从点$P$处把绳子剪断,若剪断后的三段绳子中最长的一段为$30\mathrm{cm}$,则绳子的原长为
80或40
$\mathrm{cm}$.答案：80或40
解析：
设绳子原长为 $ L $ cm，对折后 $ AB = \frac{L}{2} $ cm。
情况一：点 $ P $ 靠近点 $ A $
由 $ AP = \frac{1}{3}PB $，设 $ AP = x $，则 $ PB = 3x $。
$ AB = AP + PB = 4x = \frac{L}{2} $，得 $ x = \frac{L}{8} $。
剪断后三段绳子长分别为：$ 2AP = \frac{L}{4} $，$ PB = \frac{3L}{8} $，$ PB = \frac{3L}{8} $。
最长段为 $ \frac{3L}{8} = 30 $，解得 $ L = 80 $。
情况二：点 $ P $ 靠近点 $ B $
对折后 $ A $ 为对折点，设 $ AP = x $，则 $ PB = 3x $，$ AB = PB - AP = 2x = \frac{L}{2} $，得 $ x = \frac{L}{4} $。
剪断后三段绳子长分别为：$ 2AP = \frac{L}{2} $，$ PB = \frac{3L}{4} $，$ AB - AP = \frac{L}{4} $。
最长段为 $ \frac{3L}{4} = 30 $，解得 $ L = 40 $。
综上，绳子原长为 $ 80 $ 或 $ 40 $ cm。
答案：80或40
情况一：点 $ P $ 靠近点 $ A $
由 $ AP = \frac{1}{3}PB $，设 $ AP = x $，则 $ PB = 3x $。
$ AB = AP + PB = 4x = \frac{L}{2} $，得 $ x = \frac{L}{8} $。
剪断后三段绳子长分别为：$ 2AP = \frac{L}{4} $，$ PB = \frac{3L}{8} $，$ PB = \frac{3L}{8} $。
最长段为 $ \frac{3L}{8} = 30 $，解得 $ L = 80 $。
情况二：点 $ P $ 靠近点 $ B $
对折后 $ A $ 为对折点，设 $ AP = x $，则 $ PB = 3x $，$ AB = PB - AP = 2x = \frac{L}{2} $，得 $ x = \frac{L}{4} $。
剪断后三段绳子长分别为：$ 2AP = \frac{L}{2} $，$ PB = \frac{3L}{4} $，$ AB - AP = \frac{L}{4} $。
最长段为 $ \frac{3L}{4} = 30 $，解得 $ L = 40 $。
综上，绳子原长为 $ 80 $ 或 $ 40 $ cm。
答案：80或40