10. 已知a是不等于-1的数,我们把$\frac{1}{1 + a}$称为a的和倒数. 例如,2的和倒数为$\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$. 已知$a_{1} = 1$,$a_{2}是a_{1}$的和倒数,$a_{3}是a_{2}$的和倒数,$a_{4}是a_{3}$的和倒数,···,依此类推,则$a_{1}·a_{2}·a_{3}·…·a_{8} = $
$\frac{1}{34}$
.答案：$\frac{1}{34}$
解析：
解：由题意得：
$a_{1}=1$
$a_{2}=\frac{1}{1+a_{1}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
$a_{3}=\frac{1}{1+a_{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$
$a_{4}=\frac{1}{1+a_{3}}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$
$a_{5}=\frac{1}{1+a_{4}}=\frac{1}{1+\frac{3}{5}}=\frac{5}{8}$
$a_{6}=\frac{1}{1+a_{5}}=\frac{1}{1+\frac{5}{8}}=\frac{8}{13}$
$a_{7}=\frac{1}{1+a_{6}}=\frac{1}{1+\frac{8}{13}}=\frac{13}{21}$
$a_{8}=\frac{1}{1+a_{7}}=\frac{1}{1+\frac{13}{21}}=\frac{21}{34}$
$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot\ldots\cdot a_{8}=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{8}×\frac{8}{13}×\frac{13}{21}×\frac{21}{34}=\frac{1}{34}$
答案：$\frac{1}{34}$
$a_{1}=1$
$a_{2}=\frac{1}{1+a_{1}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
$a_{3}=\frac{1}{1+a_{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$
$a_{4}=\frac{1}{1+a_{3}}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$
$a_{5}=\frac{1}{1+a_{4}}=\frac{1}{1+\frac{3}{5}}=\frac{5}{8}$
$a_{6}=\frac{1}{1+a_{5}}=\frac{1}{1+\frac{5}{8}}=\frac{8}{13}$
$a_{7}=\frac{1}{1+a_{6}}=\frac{1}{1+\frac{8}{13}}=\frac{13}{21}$
$a_{8}=\frac{1}{1+a_{7}}=\frac{1}{1+\frac{13}{21}}=\frac{21}{34}$
$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot\ldots\cdot a_{8}=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{8}×\frac{8}{13}×\frac{13}{21}×\frac{21}{34}=\frac{1}{34}$
答案：$\frac{1}{34}$
11. (10分)(1)计算:$(-1 + 2)×3 + 2^{2}÷(-4)$; (2)解方程:$\frac{2x - 1}{3} = \frac{2x + 1}{6} - 1$.
答案：解: (1) 原式 $=1×3 + 4÷(-4) = 3 - 1 = 2$.
(2) 去分母, 得 $2(2x - 1) = 2x + 1 - 6$,
去括号, 得 $4x - 2 = 2x + 1 - 6$,
移项、合并同类项, 得 $2x = -3$,
系数化为 1, 得 $x = -1.5$.
(2) 去分母, 得 $2(2x - 1) = 2x + 1 - 6$,
去括号, 得 $4x - 2 = 2x + 1 - 6$,
移项、合并同类项, 得 $2x = -3$,
系数化为 1, 得 $x = -1.5$.
12. (10分)某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物. 如果每人制作9个,那么就比计划少做17个;如果每人制作12个,那么就比计划多做4个.
(1)这个手工兴趣小组共有多少人? 计划要做的这批中国结有多少个?
(2)同学们打算用A,B两种不同的编结方式来制作这一批中国结,已知每个A型中国结需用红绳0.6米,每个B型中国结需用红绳0.9米,现有50米红绳,制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗? 请说明你的理由.
(1)这个手工兴趣小组共有多少人? 计划要做的这批中国结有多少个?
(2)同学们打算用A,B两种不同的编结方式来制作这一批中国结,已知每个A型中国结需用红绳0.6米,每个B型中国结需用红绳0.9米,现有50米红绳,制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗? 请说明你的理由.
答案：解: (1) 设这个手工兴趣小组共有 $x$ 人.
由题意, 得 $9x + 17 = 12x - 4$,
解得 $x = 7$,
所以 $9x + 17 = 80$.
答: 这个手工兴趣小组共有 7 人, 计划要做的这批中国结有 80 个.
(2) 不能. 理由如下:
设编结 $a$ 个 $A$ 型中国结, 编结 $b$ 个 $B$ 型中国结.
由题意, 得 $0.6a + 0.9b = 50$,
整理, 得 $2a + 3b = \frac{500}{3}$.
因为 $a$, $b$ 都是正整数, 所以 $2a + 3b$ 不可能为分数, 即没有符合条件的 $a$, $b$ 的值,
所以制作这批中国结不能恰好用完这 50 米红绳.
由题意, 得 $9x + 17 = 12x - 4$,
解得 $x = 7$,
所以 $9x + 17 = 80$.
答: 这个手工兴趣小组共有 7 人, 计划要做的这批中国结有 80 个.
(2) 不能. 理由如下:
设编结 $a$ 个 $A$ 型中国结, 编结 $b$ 个 $B$ 型中国结.
由题意, 得 $0.6a + 0.9b = 50$,
整理, 得 $2a + 3b = \frac{500}{3}$.
因为 $a$, $b$ 都是正整数, 所以 $2a + 3b$ 不可能为分数, 即没有符合条件的 $a$, $b$ 的值,
所以制作这批中国结不能恰好用完这 50 米红绳.
13. (10分)如图,C为线段AB延长线上的一点,D是AC的中点,且点D不与点B重合,$AB = 8$,设$BC = x$.
(1)①若$x = 6$,则$BD = $______;
②用含x的代数式表示CD,BD的长,则$CD = $______,$BD = $______;
(2)若E为线段CD上一点,且$DE = 4$,你能说明E是线段BC的中点吗?
(1)①若$x = 6$,则$BD = $______;
②用含x的代数式表示CD,BD的长,则$CD = $______,$BD = $______;
(2)若E为线段CD上一点,且$DE = 4$,你能说明E是线段BC的中点吗?
答案：
(1) ① 1
② $4 + \frac{1}{2}x$ $|4 - \frac{1}{2}x|$
(2) 解: 如答图所示.
因为 $AB = 8$, $BC = x$,
所以 $AC = AB + BC = 8 + x$.
因为 $D$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $AD = DC = \frac{1}{2}AC = 4 + \frac{1}{2}x$,
所以 $CE = DC - DE = 4 + \frac{1}{2}x - 4 = \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}BC$,
所以 $E$ 是线段 $BC$ 的中点.
(1) ① 1
② $4 + \frac{1}{2}x$ $|4 - \frac{1}{2}x|$
(2) 解: 如答图所示.
因为 $AB = 8$, $BC = x$,
所以 $AC = AB + BC = 8 + x$.
因为 $D$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $AD = DC = \frac{1}{2}AC = 4 + \frac{1}{2}x$,
所以 $CE = DC - DE = 4 + \frac{1}{2}x - 4 = \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}BC$,
所以 $E$ 是线段 $BC$ 的中点.
14. (20分)在平面内,将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,其中三角形ABC为含$60^{\circ}$角的直角三角尺,三角形BDE为含$45^{\circ}$角的直角三角尺.
(1)如图①,若点D在AB上,则$∠EBC$的度数为______
(2)如图②,若$∠EBC = 170^{\circ}$,则$∠α$的度数为______
(3)如图③,若$∠EBC = 118^{\circ}$,求$∠α$的度数;
(4)如图③,若$0^{\circ} ＜ ∠α ＜ 60^{\circ}$,求$∠ABE - ∠DBC$的度数.
(1)如图①,若点D在AB上,则$∠EBC$的度数为______
$150^{\circ}$
;(2)如图②,若$∠EBC = 170^{\circ}$,则$∠α$的度数为______
$20^{\circ}$
;(3)如图③,若$∠EBC = 118^{\circ}$,求$∠α$的度数;
解: 因为 $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle DBE = 90^{\circ}$,所以 $\angle DBC = \angle ABC - \angle \alpha = 60^{\circ} - \angle \alpha$.因为 $\angle EBC = 118^{\circ}$,所以 $\angle DBE + \angle DBC = 90^{\circ} + (60^{\circ} - \angle \alpha) = 118^{\circ}$,所以 $\angle \alpha = 32^{\circ}$.
(4)如图③,若$0^{\circ} ＜ ∠α ＜ 60^{\circ}$,求$∠ABE - ∠DBC$的度数.
解: 因为 $\angle ABE = 90^{\circ} - \angle \alpha$, $\angle DBC = 60^{\circ} - \angle \alpha$,所以 $\angle ABE - \angle DBC = 90^{\circ} - \angle \alpha - (60^{\circ} - \angle \alpha) = 30^{\circ}$.
答案：(1) $150^{\circ}$ (2) $20^{\circ}$
(3) 解: 因为 $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle DBE = 90^{\circ}$,
所以 $\angle DBC = \angle ABC - \angle \alpha = 60^{\circ} - \angle \alpha$.
因为 $\angle EBC = 118^{\circ}$,
所以 $\angle DBE + \angle DBC = 90^{\circ} + (60^{\circ} - \angle \alpha) = 118^{\circ}$,
所以 $\angle \alpha = 32^{\circ}$.
(4) 解: 因为 $\angle ABE = 90^{\circ} - \angle \alpha$, $\angle DBC = 60^{\circ} - \angle \alpha$,
所以 $\angle ABE - \angle DBC = 90^{\circ} - \angle \alpha - (60^{\circ} - \angle \alpha) = 30^{\circ}$.
(3) 解: 因为 $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle DBE = 90^{\circ}$,
所以 $\angle DBC = \angle ABC - \angle \alpha = 60^{\circ} - \angle \alpha$.
因为 $\angle EBC = 118^{\circ}$,
所以 $\angle DBE + \angle DBC = 90^{\circ} + (60^{\circ} - \angle \alpha) = 118^{\circ}$,
所以 $\angle \alpha = 32^{\circ}$.
(4) 解: 因为 $\angle ABE = 90^{\circ} - \angle \alpha$, $\angle DBC = 60^{\circ} - \angle \alpha$,
所以 $\angle ABE - \angle DBC = 90^{\circ} - \angle \alpha - (60^{\circ} - \angle \alpha) = 30^{\circ}$.