1. (2024·高新区三模)数轴上表示 $a,b$ 两数的点分别在原点左、右两侧,下列结论一定正确的是 (
A.$a + b＞0$
B.$a - b＞0$
C.$a\cdot b＜0$
D.$a÷ b＞0$
C
)A.$a + b＞0$
B.$a - b＞0$
C.$a\cdot b＜0$
D.$a÷ b＞0$
答案：C
解析：
解：因为数轴上表示$a$，$b$两数的点分别在原点左、右两侧，所以$a\lt0$，$b\gt0$。
A. 当$|a|\gt|b|$时，$a + b\lt0$，故A错误；
B. $a - b=a+(-b)$，因为$a\lt0$，$-b\lt0$，所以$a - b\lt0$，故B错误；
C. 因为$a\lt0$，$b\gt0$，所以$a\cdot b\lt0$，故C正确；
D. 因为$a\lt0$，$b\gt0$，所以$a÷ b\lt0$，故D错误。
结论：C
A. 当$|a|\gt|b|$时，$a + b\lt0$，故A错误；
B. $a - b=a+(-b)$，因为$a\lt0$，$-b\lt0$，所以$a - b\lt0$，故B错误；
C. 因为$a\lt0$，$b\gt0$，所以$a\cdot b\lt0$，故C正确；
D. 因为$a\lt0$，$b\gt0$，所以$a÷ b\lt0$，故D错误。
结论：C
2. 阅读下列材料,解答问题.
小华在课外书中看到这样一道题: 计算 $\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
她分析后发现:这个算式反映的是前、后两部分的和,而这两部分之间是倒数的关系,她利用这种关系顺利地解答了这道题.
解:设 $A= \frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}),B = (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
(1)你认为先计算______较为简便;(填“$A$”或“$B$”)
(2)请计算你认为简便的那部分;
(3)根据以上分析,求出原式的结果.
小华在课外书中看到这样一道题: 计算 $\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
她分析后发现:这个算式反映的是前、后两部分的和,而这两部分之间是倒数的关系,她利用这种关系顺利地解答了这道题.
解:设 $A= \frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}),B = (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
(1)你认为先计算______较为简便;(填“$A$”或“$B$”)
B
(2)请计算你认为简便的那部分;
解：$B = (\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}) × 36 = \frac{1}{4} × 36 + \frac{1}{12} × 36 - \frac{7}{18} × 36 - \frac{1}{36} × 36 = 9 + 3 - 14 - 1 = -3$。
(3)根据以上分析,求出原式的结果.
解：因为 A 与 B 互为倒数，所以 $A = -\frac{1}{3}$，所以原式 $= A + B = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3}$。
答案：(1) B (2) 解：$B = (\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}) × 36 = \frac{1}{4} × 36 + \frac{1}{12} × 36 - \frac{7}{18} × 36 - \frac{1}{36} × 36 = 9 + 3 - 14 - 1 = -3$。 (3) 解：因为 A 与 B 互为倒数，所以 $A = -\frac{1}{3}$，所以原式 $= A + B = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3}$。
3. 定义:$a$ 是不为 $1$ 的有理数,我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数. 例如, $2$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2}= -1,-1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - (-1)}= \frac{1}{2}$. 已知 $a_1 = -\frac{1}{3},a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数,$a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数,$a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数,…,依此类推,解答下列问题:
(1)$a_2=$
(2)求 $a_1 + a_2 + a_3 + … + a_{2025}$ 的值.
(1)$a_2=$
$\frac{3}{4}$
,$a_3=$4
,$a_4=$$-\frac{1}{3}$
;(2)求 $a_1 + a_2 + a_3 + … + a_{2025}$ 的值.
解：由(1)知这列数以 $-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4 为一个循环，依次出现。一个周期内的和为：$-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 4$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$
答案：(1) $\frac{3}{4}$ 4 $-\frac{1}{3}$ 点拨：由题意可得，当 $a_1 = -\frac{1}{3}$ 时，$a_2 = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{4}$，$a_3 = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4$，$a_4 = \frac{1}{1 - 4} = -\frac{1}{3}$。 (2) 解：由(1)知这列数以 $-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4 为一个循环，依次出现。一个周期内的和为：$-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 4$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$
解析：
(1) $\frac{3}{4}$，$4$，$-\frac{1}{3}$
(2) 解：由(1)可知，该数列以$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，$4$为一个循环周期，循环周期为$3$。
一个周期内的和为：$-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 4$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$
(2) 解：由(1)可知，该数列以$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，$4$为一个循环周期，循环周期为$3$。
一个周期内的和为：$-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + 4$
$=-\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{48}{12}$
$=\frac{53}{12}$
因为$2025÷3 = 675$，刚好整除，所以共有$675$个完整周期。
则$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = 675×\frac{53}{12} = \frac{35775}{12} = \frac{11925}{4}$