1. 已知整式 $ P = x ^ { 2 } + x - 1 $,$ Q = x ^ { 2 } - x + 1 $,$ R = - x ^ { 2 } + x + 1 $,若一个次数不高于二次的整式可以表示为 $ a P + b Q + c R $(其中 $ a $,$ b $,$ c $ 为常数),则可以进行如下分类：
①若 $ a \neq 0 $,$ b = c = 0 $,则称该整式为“$ P $ 类整式”；
②若 $ a \neq 0 $,$ b \neq 0 $,$ c = 0 $,则称该整式为“$ PQ $ 类整式”；
③若 $ a \neq 0 $,$ b \neq 0 $,$ c \neq 0 $,则称该整式为“$ PQR $ 类整式”.
(1)模仿上面的分类方式,请给出 $ R $ 类整式和 $ QR $ 类整式的定义：若
(2)说明整式 $ x ^ { 2 } - 5 x + 5 $ 为“$ PQ $ 类整式”；
(3)$ x ^ { 2 } + x + 1 $ 是哪一类整式？说明理由.
①若 $ a \neq 0 $,$ b = c = 0 $,则称该整式为“$ P $ 类整式”；
②若 $ a \neq 0 $,$ b \neq 0 $,$ c = 0 $,则称该整式为“$ PQ $ 类整式”；
③若 $ a \neq 0 $,$ b \neq 0 $,$ c \neq 0 $,则称该整式为“$ PQR $ 类整式”.
(1)模仿上面的分类方式,请给出 $ R $ 类整式和 $ QR $ 类整式的定义：若
$ a = 0$，$ b = 0$，$ c \neq 0$
,则称该整式为“$ R $ 类整式”；若$ a = 0$，$ b \neq 0$，$ c \neq 0$
,则称该整式为“$ QR $ 类整式”；(2)说明整式 $ x ^ { 2 } - 5 x + 5 $ 为“$ PQ $ 类整式”；
解：因为$ -2P + 3Q = -2(x^{2} + x - 1) + 3(x^{2} - x + 1) = -2x^{2} - 2x + 2 + 3x^{2} - 3x + 3 = x^{2} - 5x + 5$，
即$ x^{2} - 5x + 5 = -2P + 3Q$，所以$ x^{2} - 5x + 5$是“$ PQ$类整式”。
即$ x^{2} - 5x + 5 = -2P + 3Q$，所以$ x^{2} - 5x + 5$是“$ PQ$类整式”。
(3)$ x ^ { 2 } + x + 1 $ 是哪一类整式？说明理由.
解：因为$ x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x - 1) + (x^{2} - x + 1) + (-x^{2} + x + 1)$，
所以该整式为“$ PQR$类整式”。
所以该整式为“$ PQR$类整式”。
答案：1. (1) $ a = 0$，$ b = 0$，$ c \neq 0$ $ a = 0$，$ b \neq 0$，$ c \neq 0$
(2) 解：因为$ -2P + 3Q = -2(x^{2} + x - 1) + 3(x^{2} - x + 1) = -2x^{2} - 2x + 2 + 3x^{2} - 3x + 3 = x^{2} - 5x + 5$，
即$ x^{2} - 5x + 5 = -2P + 3Q$，所以$ x^{2} - 5x + 5$是“$ PQ$类整式”。
(3) 解：因为$ x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x - 1) + (x^{2} - x + 1) + (-x^{2} + x + 1)$，
所以该整式为“$ PQR$类整式”。
(2) 解：因为$ -2P + 3Q = -2(x^{2} + x - 1) + 3(x^{2} - x + 1) = -2x^{2} - 2x + 2 + 3x^{2} - 3x + 3 = x^{2} - 5x + 5$，
即$ x^{2} - 5x + 5 = -2P + 3Q$，所以$ x^{2} - 5x + 5$是“$ PQ$类整式”。
(3) 解：因为$ x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x - 1) + (x^{2} - x + 1) + (-x^{2} + x + 1)$，
所以该整式为“$ PQR$类整式”。
2. (2024·梁溪区月考)定义：如果 $ 2 ^ { m } = n $($ m $,$ n $ 为正数),那么我们把 $ m $ 叫作 $ n $ 的 $ D $ 数,记作 $ m = D ( n ) $.
(1)根据 $ D $ 数的定义,填空：$ D ( 2 ) = $
(2)$ D $ 数有如下运算性质：$ D ( s \cdot t ) = D ( s ) + D ( t ) $,$ D \left( \frac { q } { p } \right) = D ( q ) - D ( p ) $,其中 $ q ＞ p $.
若已知 $ D ( 3 ) = 2 a - b $,$ D ( 5 ) = a + c $,试求 $ D ( 15 ) $,$ D \left( \frac { 5 } { 3 } \right) $,$ D ( 108 ) $,$ D \left( \frac { 27 } { 20 } \right) $ 的值(用含 $ a $,$ b $,$ c $ 的式子表示).
(1)根据 $ D $ 数的定义,填空：$ D ( 2 ) = $
1
,$ D ( 16 ) = $4
；(2)$ D $ 数有如下运算性质：$ D ( s \cdot t ) = D ( s ) + D ( t ) $,$ D \left( \frac { q } { p } \right) = D ( q ) - D ( p ) $,其中 $ q ＞ p $.
若已知 $ D ( 3 ) = 2 a - b $,$ D ( 5 ) = a + c $,试求 $ D ( 15 ) $,$ D \left( \frac { 5 } { 3 } \right) $,$ D ( 108 ) $,$ D \left( \frac { 27 } { 20 } \right) $ 的值(用含 $ a $,$ b $,$ c $ 的式子表示).
解：$ D(15) = D(3) + D(5) = (2a - b) + (a + c) = 3a - b + c$，
$ D(\frac{5}{3}) = D(5) - D(3) = (a + c) - (2a - b) = a + c - 2a + b = -a + b + c$，
$ D(108) = D(3 × 3 × 3 × 2 × 2) = 3 × D(3) + 2 × D(2) = 3 × (2a - b) + 2 × 1 = 6a - 3b + 2$，
$ D(\frac{27}{20}) = D(27) - D(20) = D(3 × 3 × 3) - D(5 × 2 × 2) = 3 × D(3) - [D(5) + 2D(2)] = 3 × (2a - b) - [(a + c) + 2 × 1] = 6a - 3b - a - c - 2 = 5a - 3b - c - 2$。
$ D(\frac{5}{3}) = D(5) - D(3) = (a + c) - (2a - b) = a + c - 2a + b = -a + b + c$，
$ D(108) = D(3 × 3 × 3 × 2 × 2) = 3 × D(3) + 2 × D(2) = 3 × (2a - b) + 2 × 1 = 6a - 3b + 2$，
$ D(\frac{27}{20}) = D(27) - D(20) = D(3 × 3 × 3) - D(5 × 2 × 2) = 3 × D(3) - [D(5) + 2D(2)] = 3 × (2a - b) - [(a + c) + 2 × 1] = 6a - 3b - a - c - 2 = 5a - 3b - c - 2$。
答案：2. (1) 1 4
(2) 解：$ D(15) = D(3) + D(5) = (2a - b) + (a + c) = 3a - b + c$，
$ D(\frac{5}{3}) = D(5) - D(3) = (a + c) - (2a - b) = a + c - 2a + b = -a + b + c$，
$ D(108) = D(3 × 3 × 3 × 2 × 2) = 3 × D(3) + 2 × D(2) = 3 × (2a - b) + 2 × 1 = 6a - 3b + 2$，
$ D(\frac{27}{20}) = D(27) - D(20) = D(3 × 3 × 3) - D(5 × 2 × 2) = 3 × D(3) - [D(5) + 2D(2)] = 3 × (2a - b) - [(a + c) + 2 × 1] = 6a - 3b - a - c - 2 = 5a - 3b - c - 2$。
(2) 解：$ D(15) = D(3) + D(5) = (2a - b) + (a + c) = 3a - b + c$，
$ D(\frac{5}{3}) = D(5) - D(3) = (a + c) - (2a - b) = a + c - 2a + b = -a + b + c$，
$ D(108) = D(3 × 3 × 3 × 2 × 2) = 3 × D(3) + 2 × D(2) = 3 × (2a - b) + 2 × 1 = 6a - 3b + 2$，
$ D(\frac{27}{20}) = D(27) - D(20) = D(3 × 3 × 3) - D(5 × 2 × 2) = 3 × D(3) - [D(5) + 2D(2)] = 3 × (2a - b) - [(a + c) + 2 × 1] = 6a - 3b - a - c - 2 = 5a - 3b - c - 2$。