1. (2024·镇江期末)代数式 $ mx - n $ 的值随 $ x $ 取值的变化而变化,下表是当 $ x $ 取不同值时对应的整式的值：
则关于 $ x $ 的方程 $ -mx + n = 3 $ 的解为 $ x = $
则关于 $ x $ 的方程 $ -mx + n = 3 $ 的解为 $ x = $
-1
。答案：-1
解析：
解：由题意，设当$x=a$时，$mx - n = b$，则$-mx + n=-b$。
观察表格（假设表格中当$x=-1$时，$mx - n=-3$），可得$-mx + n = 3$时，$x=-1$。
故答案为：$-1$
观察表格（假设表格中当$x=-1$时，$mx - n=-3$），可得$-mx + n = 3$时，$x=-1$。
故答案为：$-1$
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 9x - 3 = kx + 10 $。
(1)若这个方程的解是 $ x = 2 $,求 $ k $ 的值；
(2)当整数 $ k $ 为何值时,方程有正整数解？并求出它的正整数解。
(1)若这个方程的解是 $ x = 2 $,求 $ k $ 的值；
(2)当整数 $ k $ 为何值时,方程有正整数解？并求出它的正整数解。
答案：2. 解: (1) 把 $ x = 2 $ 代入方程, 得 $ 18 - 3 = 2k + 10 $, 解得 $ k = 2.5 $.
(2) 移项、合并同类项, 得 $ (9 - k)x = 13 $, 解得 $ x = \frac{13}{9 - k} $.
若方程有正整数解, 则 $ x = 13 $ 或 $ x = 1 $.
当 $ 9 - k = 1 $, 即 $ k = 8 $ 时, $ x = 13 $; 当 $ 9 - k = 13 $, 即 $ k = -4 $ 时, $ x = 1 $.
(2) 移项、合并同类项, 得 $ (9 - k)x = 13 $, 解得 $ x = \frac{13}{9 - k} $.
若方程有正整数解, 则 $ x = 13 $ 或 $ x = 1 $.
当 $ 9 - k = 1 $, 即 $ k = 8 $ 时, $ x = 13 $; 当 $ 9 - k = 13 $, 即 $ k = -4 $ 时, $ x = 1 $.
3. 【定义】若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax = b $ 的解满足 $ x = b + a $,则称该方程为“友好方程”。
例如：方程 $ 2x = -4 $ 的解为 $ x = -2 $,而 $ -2 = -4 + 2 $,则方程 $ 2x = -4 $ 为“友好方程”。
【运用】
(1)在① $ -2x = \frac{4}{3} $；② $ \frac{1}{2}x = -1 $ 两个方程中,是“友好方程”的是
(2)若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 3x = b $ 是“友好方程”,求 $ b $ 的值；
(3)若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ -2x = mn + n(n \neq 0) $ 是“友好方程”,且它的解为 $ x = n $,则 $ m = $
例如：方程 $ 2x = -4 $ 的解为 $ x = -2 $,而 $ -2 = -4 + 2 $,则方程 $ 2x = -4 $ 为“友好方程”。
【运用】
(1)在① $ -2x = \frac{4}{3} $；② $ \frac{1}{2}x = -1 $ 两个方程中,是“友好方程”的是
①
；(填序号)(2)若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 3x = b $ 是“友好方程”,求 $ b $ 的值；
解: 方程 $ 3x = b $ 的解为 $ x = \frac{b}{3} $.
因为 $ 3x = b $ 是 “友好方程”,
所以 $ \frac{b}{3} = 3 + b $, 解得 $ b = -\frac{9}{2} $.
因为 $ 3x = b $ 是 “友好方程”,
所以 $ \frac{b}{3} = 3 + b $, 解得 $ b = -\frac{9}{2} $.
(3)若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ -2x = mn + n(n \neq 0) $ 是“友好方程”,且它的解为 $ x = n $,则 $ m = $
-3
,$ n = $$ -\frac{2}{3} $
。答案：3. (1) ① 点拨: 解方程 ① $ -2x = \frac{4}{3} $, 得 $ x = -\frac{2}{3} $.
而 $ -\frac{2}{3} = \frac{4}{3} + (-2) $, 所以方程 ① 是 “友好方程”;
解方程 ② $ \frac{1}{2}x = -1 $, 得 $ x = -2 $, 而 $ -2 \neq -1 + \frac{1}{2} $, 所以方程 ② 不是 “友好方程”.
(2) 解: 方程 $ 3x = b $ 的解为 $ x = \frac{b}{3} $.
因为 $ 3x = b $ 是 “友好方程”,
所以 $ \frac{b}{3} = 3 + b $, 解得 $ b = -\frac{9}{2} $.
(3) $ -3 $ $ -\frac{2}{3} $ 点拨: 因为关于 $ x $ 的一元一次方程 $ -2x = mn + n $ 是 “友好方程”, 并且它的解是 $ x = n $, 所以 $ -2n = mn + n $, 且 $ mn + n - 2 = n $, 解得 $ m = -3 $, $ n = -\frac{2}{3} $.
而 $ -\frac{2}{3} = \frac{4}{3} + (-2) $, 所以方程 ① 是 “友好方程”;
解方程 ② $ \frac{1}{2}x = -1 $, 得 $ x = -2 $, 而 $ -2 \neq -1 + \frac{1}{2} $, 所以方程 ② 不是 “友好方程”.
(2) 解: 方程 $ 3x = b $ 的解为 $ x = \frac{b}{3} $.
因为 $ 3x = b $ 是 “友好方程”,
所以 $ \frac{b}{3} = 3 + b $, 解得 $ b = -\frac{9}{2} $.
(3) $ -3 $ $ -\frac{2}{3} $ 点拨: 因为关于 $ x $ 的一元一次方程 $ -2x = mn + n $ 是 “友好方程”, 并且它的解是 $ x = n $, 所以 $ -2n = mn + n $, 且 $ mn + n - 2 = n $, 解得 $ m = -3 $, $ n = -\frac{2}{3} $.