1. 根据绝对值的定义,若$|x| = 4$,则$x = 4或x = -4$；若$|y| = a(a \geq 0)$,则$y = \pm a$。我们可以根据这样的方法,解一些简单的绝对值方程,例如：$|2x + 4| = 5$。
解：方程$|2x + 4| = 5可化为2x + 4 = 5或2x + 4 = -5$。
当$2x + 4 = 5$时,$2x = 1$,解得$x = \frac{1}{2}$；
当$2x + 4 = -5$时,$2x = -9$,解得$x = -\frac{9}{2}$。
故方程$|2x + 4| = 5的解为x = \frac{1}{2}或x = -\frac{9}{2}$。
(1) 解方程：$|3x - 2| = 4$；
解:方程$|3x - 2| = 4$可化为$3x - 2 = 4$或$3x - 2 = -4$，解得$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。故方程$|3x - 2| = 4$的解为$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。
(2) 已知$|a + b + 4| = 16$,求$|a + b|$的值；
解:已知$|a + b + 4| = 16$，则$a + b + 4 = 16$或$a + b + 4 = -16$，解得$a + b = 12$或$a + b = -20$。所以$|a + b|$的值为
(3) 在(2)的条件下,若$a$,$b$都是整数,则$a \cdot b$的最大值是______。(直接写结果,不需要过程)
解：方程$|2x + 4| = 5可化为2x + 4 = 5或2x + 4 = -5$。
当$2x + 4 = 5$时,$2x = 1$,解得$x = \frac{1}{2}$；
当$2x + 4 = -5$时,$2x = -9$,解得$x = -\frac{9}{2}$。
故方程$|2x + 4| = 5的解为x = \frac{1}{2}或x = -\frac{9}{2}$。
(1) 解方程：$|3x - 2| = 4$；
解:方程$|3x - 2| = 4$可化为$3x - 2 = 4$或$3x - 2 = -4$，解得$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。故方程$|3x - 2| = 4$的解为$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。
(2) 已知$|a + b + 4| = 16$,求$|a + b|$的值；
解:已知$|a + b + 4| = 16$，则$a + b + 4 = 16$或$a + b + 4 = -16$，解得$a + b = 12$或$a + b = -20$。所以$|a + b|$的值为
12 或 20
。(3) 在(2)的条件下,若$a$,$b$都是整数,则$a \cdot b$的最大值是______。(直接写结果,不需要过程)
100
答案：1. (1)解:方程$|3x - 2| = 4$可化为$3x - 2 = 4$或$3x - 2 = -4$，解得$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。故方程$|3x - 2| = 4$的解为$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。(2)解:已知$|a + b + 4| = 16$，则$a + b + 4 = 16$或$a + b + 4 = -16$，解得$a + b = 12$或$a + b = -20$。所以$|a + b|$的值为 12 或 20。(3)100 点拨:由(2)可知，$a + b = 12$或$a + b = -20$。若$a$，$b$都是整数，根据有理数乘法法则可知，当$a = -10$，$b = -10$时，$a\cdot b$取得最大值，最大值为 100。
解析：
(1)解：方程$|3x - 2| = 4$可化为$3x - 2 = 4$或$3x - 2 = -4$。
当$3x - 2 = 4$时，$3x = 6$，解得$x = 2$；
当$3x - 2 = -4$时，$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
故方程$|3x - 2| = 4$的解为$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。
(2)解：已知$|a + b + 4| = 16$，则$a + b + 4 = 16$或$a + b + 4 = -16$。
当$a + b + 4 = 16$时，解得$a + b = 12$；
当$a + b + 4 = -16$时，解得$a + b = -20$。
所以$|a + b| = |12| = 12$或$|a + b| = |-20| = 20$。
(3)100
当$3x - 2 = 4$时，$3x = 6$，解得$x = 2$；
当$3x - 2 = -4$时，$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
故方程$|3x - 2| = 4$的解为$x = 2$或$x = -\frac{2}{3}$。
(2)解：已知$|a + b + 4| = 16$，则$a + b + 4 = 16$或$a + b + 4 = -16$。
当$a + b + 4 = 16$时，解得$a + b = 12$；
当$a + b + 4 = -16$时，解得$a + b = -20$。
所以$|a + b| = |12| = 12$或$|a + b| = |-20| = 20$。
(3)100
2. 解方程：$|1 - 2x| = 3 - x$。
答案：解:当$1 - 2x \geq 0$时，原方程可化为$1 - 2x = 3 - x$，解得$x = -2$；当$1 - 2x ＜ 0$时，原方程可化为$1 - 2x = -(3 - x)$，解得$x = \frac{4}{3}$。所以原方程的解是$x = -2$或$x = \frac{4}{3}$。
3. 已知关于$x的方程(a - 2)x^{|a| - 1} + 4b = 0$为一元一次方程,且该方程的解与关于$x的方程\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$的解相同。
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 若关于$y的方程|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$有无数个解,求$m$,$n$的值。
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 若关于$y的方程|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$有无数个解,求$m$,$n$的值。
答案：解:(1)因为方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 4b = 0$为一元一次方程，所以$|a| - 1 = 1$，$a - 2 \neq 0$，所以$a = -2$，所以方程为$-4x + 4b = 0$，解得$x = b$。因为方程$-4x + 4b = 0$的解与方程$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$的解相同，所以$\frac{2b + 1}{3} = 1$，解得$b = 1$。(2)由(1)可知方程为$|m - 1|y + n = -2 + 1 + 2y$，所以$(|m - 1| - 2)y = -n - 1$。因为方程有无数个解，所以$-n - 1 = 0$，$|m - 1| = 2$，所以$n = -1$，$m = 3$或$m = -1$。
解析：
(1)解：因为方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 4b = 0$为一元一次方程，所以$|a| - 1 = 1$且$a - 2 \neq 0$。
由$|a| - 1 = 1$得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$。
又因为$a - 2 \neq 0$，所以$a \neq 2$，故$a = -2$。
此时方程为$(-2 - 2)x + 4b = 0$，即$-4x + 4b = 0$，解得$x = b$。
因为该方程的解与$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$的解相同，将$x = b$代入$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$得：
$\frac{2b + 1}{3} = \frac{b - b}{2} + 1$，即$\frac{2b + 1}{3} = 1$。
两边同乘$3$得$2b + 1 = 3$，解得$2b = 2$，$b = 1$。
(2)解：由(1)知$a = -2$，$b = 1$，代入方程$|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$得：
$|m - 1|y + n = -2 + 1 + 2×1×y$，即$|m - 1|y + n = 2y - 1$。
移项得$(|m - 1| - 2)y = -1 - n$。
因为方程有无数个解，所以$|m - 1| - 2 = 0$且$-1 - n = 0$。
由$|m - 1| - 2 = 0$得$|m - 1| = 2$，即$m - 1 = ±2$，解得$m = 3$或$m = -1$。
由$-1 - n = 0$得$n = -1$。
综上，(1)$a = -2$，$b = 1$；(2)$m = 3$或$m = -1$，$n = -1$。
由$|a| - 1 = 1$得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$。
又因为$a - 2 \neq 0$，所以$a \neq 2$，故$a = -2$。
此时方程为$(-2 - 2)x + 4b = 0$，即$-4x + 4b = 0$，解得$x = b$。
因为该方程的解与$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$的解相同，将$x = b$代入$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$得：
$\frac{2b + 1}{3} = \frac{b - b}{2} + 1$，即$\frac{2b + 1}{3} = 1$。
两边同乘$3$得$2b + 1 = 3$，解得$2b = 2$，$b = 1$。
(2)解：由(1)知$a = -2$，$b = 1$，代入方程$|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$得：
$|m - 1|y + n = -2 + 1 + 2×1×y$，即$|m - 1|y + n = 2y - 1$。
移项得$(|m - 1| - 2)y = -1 - n$。
因为方程有无数个解，所以$|m - 1| - 2 = 0$且$-1 - n = 0$。
由$|m - 1| - 2 = 0$得$|m - 1| = 2$，即$m - 1 = ±2$，解得$m = 3$或$m = -1$。
由$-1 - n = 0$得$n = -1$。
综上，(1)$a = -2$，$b = 1$；(2)$m = 3$或$m = -1$，$n = -1$。