1. 定义：对于任意两个有理数 $ a,b $,可以组成一个有理数对 $ (a,b) $,我们规定 $ (a,b)= a + b - 1 $。例如：$ (-2,5)= -2 + 5 - 1 = 2 $。当满足等式 $ (-5,3x + 2m)= 5 $ 的 $ x $ 是正整数时,$ m $ 的正整数值为
1 或 4
。答案：1 或 4
解析：
解：根据题意，得
$(-5, 3x + 2m) = -5 + (3x + 2m) - 1$
即 $-5 + 3x + 2m - 1 = 5$
化简得 $3x + 2m = 11$
解得 $x = \frac{11 - 2m}{3}$
因为 $x$ 是正整数，所以 $11 - 2m$ 是 3 的正整数倍。
当 $11 - 2m = 3$ 时，$m = 4$；
当 $11 - 2m = 9$ 时，$m = 1$；
当 $11 - 2m = 6$ 时，$m = 2.5$（非正整数，舍去）；
当 $11 - 2m = 12$ 时，$m = -0.5$（非正整数，舍去）。
故 $m$ 的正整数值为 1 或 4。
答案：1 或 4
$(-5, 3x + 2m) = -5 + (3x + 2m) - 1$
即 $-5 + 3x + 2m - 1 = 5$
化简得 $3x + 2m = 11$
解得 $x = \frac{11 - 2m}{3}$
因为 $x$ 是正整数，所以 $11 - 2m$ 是 3 的正整数倍。
当 $11 - 2m = 3$ 时，$m = 4$；
当 $11 - 2m = 9$ 时，$m = 1$；
当 $11 - 2m = 6$ 时，$m = 2.5$（非正整数，舍去）；
当 $11 - 2m = 12$ 时，$m = -0.5$（非正整数，舍去）。
故 $m$ 的正整数值为 1 或 4。
答案：1 或 4
2. (2024·江阴月考)定义一种新运算“$ a*b $”：当 $ a\geq b $ 时,$ a*b = a + 2b $；当 $ a\lt b $ 时,$ a*b = a - 2b $。
例如：$ 3*(-4)= 3 + (-8)= -5 $,$ (-6)*12= -6 - 24= -30 $。
(1) 填空：$ (-4)*3= $______
(2) 若 $ (3x - 4)*5= (3x - 4)+2×5 $,则 $ x $ 的取值范围为______
(3) 计算：$ (2x^{2}+4x + 8)*(x^{2}+4x - 2) $。
例如：$ 3*(-4)= 3 + (-8)= -5 $,$ (-6)*12= -6 - 24= -30 $。
(1) 填空：$ (-4)*3= $______
-10
；(2) 若 $ (3x - 4)*5= (3x - 4)+2×5 $,则 $ x $ 的取值范围为______
$ x \geq 3 $
；(3) 计算：$ (2x^{2}+4x + 8)*(x^{2}+4x - 2) $。
解：$ (2x^{2} + 4x + 8) - (x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 - x^{2} - 4x + 2 $
$ = x^{2} + 10 ＞ 0 $，
则原式 $ = (2x^{2} + 4x + 8) + 2(x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 + 2x^{2} + 8x - 4 $
$ = 4x^{2} + 12x + 4 $。
$ = 2x^{2} + 4x + 8 - x^{2} - 4x + 2 $
$ = x^{2} + 10 ＞ 0 $，
则原式 $ = (2x^{2} + 4x + 8) + 2(x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 + 2x^{2} + 8x - 4 $
$ = 4x^{2} + 12x + 4 $。
答案：(1) -10
(2) $ x \geq 3 $
(3) 解：$ (2x^{2} + 4x + 8) - (x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 - x^{2} - 4x + 2 $
$ = x^{2} + 10 ＞ 0 $，
则原式 $ = (2x^{2} + 4x + 8) + 2(x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 + 2x^{2} + 8x - 4 $
$ = 4x^{2} + 12x + 4 $。
(2) $ x \geq 3 $
(3) 解：$ (2x^{2} + 4x + 8) - (x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 - x^{2} - 4x + 2 $
$ = x^{2} + 10 ＞ 0 $，
则原式 $ = (2x^{2} + 4x + 8) + 2(x^{2} + 4x - 2) $
$ = 2x^{2} + 4x + 8 + 2x^{2} + 8x - 4 $
$ = 4x^{2} + 12x + 4 $。
3. 如图,$ A,B $ 两点在数轴上,点 $ A $ 表示的数为 $ -20 $,点 $ B $ 表示的数为 $ 12 $,点 $ M $ 以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度从点 $ A $ 出发向右运动,点 $ N $ 以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度从点 $ B $ 出发向左运动(点 $ M,N $ 同时出发)。
(1) 当运动的时间为 $ 3 $ 秒时,请求出此时点 $ M,N $ 在数轴上表示的数,并求出点 $ M,N $ 之间的距离；
(2) 经过几秒,点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍？
(1) 当运动的时间为 $ 3 $ 秒时,请求出此时点 $ M,N $ 在数轴上表示的数,并求出点 $ M,N $ 之间的距离；
(2) 经过几秒,点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍？
答案：(1) 点 $ M $ 在数轴上表示的数为 $ -20 + 3 × 3 = -11 $，
点 $ N $ 在数轴上表示的数为 $ 12 - 2 × 3 = 6 $，
所以点 $ M $，$ N $ 之间的距离为 $ 6 - (-11) = 17 $。
(2) 设经过 $ x $ 秒，点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍，
① 两点都没有到达原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 20 - 3x $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 12 - 2x $，
则 $ 20 - 3x = 2(12 - 2x) $，解得 $ x = 4 $。
② 点 $ N $ 经过原点 $ O $，点 $ M $ 没有到达原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 20 - 3x $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 2x - 12 $，
则 $ 20 - 3x = 2(2x - 12) $，解得 $ x = \frac{44}{7} $。
③ 两点都经过原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 3x - 20 $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 2x - 12 $，则 $ 3x - 20 = 2(2x - 12) $，解得 $ x = 4 $，不合题意，舍去。
所以经过 $ 4 $ 秒或 $ \frac{44}{7} $ 秒，点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍。
点 $ N $ 在数轴上表示的数为 $ 12 - 2 × 3 = 6 $，
所以点 $ M $，$ N $ 之间的距离为 $ 6 - (-11) = 17 $。
(2) 设经过 $ x $ 秒，点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍，
① 两点都没有到达原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 20 - 3x $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 12 - 2x $，
则 $ 20 - 3x = 2(12 - 2x) $，解得 $ x = 4 $。
② 点 $ N $ 经过原点 $ O $，点 $ M $ 没有到达原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 20 - 3x $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 2x - 12 $，
则 $ 20 - 3x = 2(2x - 12) $，解得 $ x = \frac{44}{7} $。
③ 两点都经过原点 $ O $ 时，此时点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 3x - 20 $，点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离为 $ 2x - 12 $，则 $ 3x - 20 = 2(2x - 12) $，解得 $ x = 4 $，不合题意，舍去。
所以经过 $ 4 $ 秒或 $ \frac{44}{7} $ 秒，点 $ M $ 到原点 $ O $ 的距离是点 $ N $ 到原点 $ O $ 的距离的两倍。