1.α,β都是钝角,有四名同学分别计算$\frac {1}{6}(α+β)$,却得到了四个不同的结果,分别为$26^{\circ },50^{\circ },72^{\circ },90^{\circ }$。老师判作业时发现其中有正确的结果,那么正确的结果是(
A.$26^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
B
)A.$26^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
答案：B 点拨:因为α,β都是钝角，所以 $90^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$，$90^{\circ}＜\beta＜180^{\circ}$，所以 $180^{\circ}＜\alpha + \beta＜360^{\circ}$，所以 $30^{\circ}＜\frac{1}{6}(\alpha + \beta)＜60^{\circ}$，所以正确的结果是 $50^{\circ}$。
2.(2024·江阴月考)如图,点 A 在点 B 的北偏东$45^{\circ }$方向,点 C 在点 A 的南偏东$15^{\circ }$方向,则$∠BAC$等于
60
度。答案：60
3.如图,O 为直线 AB 上一点,$∠BOC= 40^{\circ }$,OD 平分$∠AOC$。
(1)求$∠AOD$的度数；
(2)作射线 OE,使$∠BOE= \frac {2}{3}∠COE$,求$∠COE$的度数；
(3)在(2)的条件下,作$∠FOH= 90^{\circ }$,使射线 OH 在$∠BOE$的内部,若$∠DOF= 3∠BOH$,求$∠AOH$的度数。
(1)求$∠AOD$的度数；
(2)作射线 OE,使$∠BOE= \frac {2}{3}∠COE$,求$∠COE$的度数；
(3)在(2)的条件下,作$∠FOH= 90^{\circ }$,使射线 OH 在$∠BOE$的内部,若$∠DOF= 3∠BOH$,求$∠AOH$的度数。
答案：
解:(1)因为 $∠BOC = 40^{\circ}$，所以 $∠AOC = 180^{\circ}-∠BOC = 140^{\circ}$。因为 OD 平分 $∠AOC$，所以 $∠AOD = ∠COD = \frac{1}{2}∠AOC = 70^{\circ}$。
(2)如答图①，当射线 OE 在 AB 上方时，$∠BOE = \frac{2}{3}∠COE$，因为 $∠BOE + ∠COE = ∠BOC$，所以 $\frac{2}{3}∠COE + ∠COE = 40^{\circ}$，所以 $∠COE = 24^{\circ}$。
如答图②，当射线 OE 在 AB 下方时，$∠BOE = \frac{2}{3}∠COE$，因为 $∠COE - ∠BOE = ∠BOC$，所以 $∠COE - \frac{2}{3}∠COE = 40^{\circ}$，所以 $∠COE = 120^{\circ}$。
综上所述，$∠COE$ 的度数为 $24^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$。
(3)因为 $∠DOF = 3∠BOH$，所以设 $∠BOH = x$，则 $∠DOF = 3x$。
如答图③，当射线 OE，OF 均在直线 AB 上方时，作 $∠FOH = 90^{\circ}$，使射线 OH 在 $∠BOE$ 的内部。
则 $∠FOC = ∠COD - ∠DOF = 70^{\circ}-3x$，所以 $∠FOH = ∠FOC + ∠COB - ∠BOH = 70^{\circ}-3x + 40^{\circ}-x = 90^{\circ}$，解得 $x = 5^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-5^{\circ}= 175^{\circ}$；
如答图④，当射线 OE 在直线 AB 上方，OF 在直线 AB 下方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF - ∠AOD = 3x - 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH - ∠BOH = 90^{\circ}-x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x - 70^{\circ}+ 90^{\circ}-x = 180^{\circ}$，解得 $x = 80^{\circ}$，因为 $∠COB = 40^{\circ}$，$80^{\circ}＞40^{\circ}$，所以 $x = 80^{\circ}$ 不符合题意，舍去；
如答图⑤，当射线 OE 在直线 AB 下方，OF 在直线 AB 上方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF + ∠AOD = 3x + 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH - ∠BOH = 90^{\circ}-x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x + 70^{\circ}+ 90^{\circ}-x = 180^{\circ}$，解得 $x = 10^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-x = 170^{\circ}$；
如答图⑥，当射线 OE，OF 均在直线 AB 下方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF - ∠AOD = 3x - 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH + ∠BOH = 90^{\circ}+x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x - 70^{\circ}+ 90^{\circ}+x = 180^{\circ}$，解得 $x = 40^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-40^{\circ}= 140^{\circ}$。
综上所述，$∠AOH$ 的度数为 $175^{\circ}$ 或 $170^{\circ}$ 或 $140^{\circ}$。
解:(1)因为 $∠BOC = 40^{\circ}$，所以 $∠AOC = 180^{\circ}-∠BOC = 140^{\circ}$。因为 OD 平分 $∠AOC$，所以 $∠AOD = ∠COD = \frac{1}{2}∠AOC = 70^{\circ}$。
(2)如答图①，当射线 OE 在 AB 上方时，$∠BOE = \frac{2}{3}∠COE$，因为 $∠BOE + ∠COE = ∠BOC$，所以 $\frac{2}{3}∠COE + ∠COE = 40^{\circ}$，所以 $∠COE = 24^{\circ}$。
如答图②，当射线 OE 在 AB 下方时，$∠BOE = \frac{2}{3}∠COE$，因为 $∠COE - ∠BOE = ∠BOC$，所以 $∠COE - \frac{2}{3}∠COE = 40^{\circ}$，所以 $∠COE = 120^{\circ}$。
综上所述，$∠COE$ 的度数为 $24^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$。
(3)因为 $∠DOF = 3∠BOH$，所以设 $∠BOH = x$，则 $∠DOF = 3x$。
如答图③，当射线 OE，OF 均在直线 AB 上方时，作 $∠FOH = 90^{\circ}$，使射线 OH 在 $∠BOE$ 的内部。
则 $∠FOC = ∠COD - ∠DOF = 70^{\circ}-3x$，所以 $∠FOH = ∠FOC + ∠COB - ∠BOH = 70^{\circ}-3x + 40^{\circ}-x = 90^{\circ}$，解得 $x = 5^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-5^{\circ}= 175^{\circ}$；
如答图④，当射线 OE 在直线 AB 上方，OF 在直线 AB 下方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF - ∠AOD = 3x - 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH - ∠BOH = 90^{\circ}-x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x - 70^{\circ}+ 90^{\circ}-x = 180^{\circ}$，解得 $x = 80^{\circ}$，因为 $∠COB = 40^{\circ}$，$80^{\circ}＞40^{\circ}$，所以 $x = 80^{\circ}$ 不符合题意，舍去；
如答图⑤，当射线 OE 在直线 AB 下方，OF 在直线 AB 上方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF + ∠AOD = 3x + 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH - ∠BOH = 90^{\circ}-x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x + 70^{\circ}+ 90^{\circ}-x = 180^{\circ}$，解得 $x = 10^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-x = 170^{\circ}$；
如答图⑥，当射线 OE，OF 均在直线 AB 下方时，
因为 $∠AOF = ∠DOF - ∠AOD = 3x - 70^{\circ}$，$∠BOF = ∠FOH + ∠BOH = 90^{\circ}+x$，$∠AOF + ∠BOF = 180^{\circ}$，所以 $3x - 70^{\circ}+ 90^{\circ}+x = 180^{\circ}$，解得 $x = 40^{\circ}$，所以 $∠AOH = 180^{\circ}-∠BOH = 180^{\circ}-40^{\circ}= 140^{\circ}$。
综上所述，$∠AOH$ 的度数为 $175^{\circ}$ 或 $170^{\circ}$ 或 $140^{\circ}$。