(1) 线段 MN 的长度是
(2)x 表示数轴上任意一个有理数,则 $|x + 1| + |x - 3|$ 有最小值是
(3) 点 S 在数轴上表示的数为 x,且 x 是方程 $2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4$ 的解. 动点 P 在数轴上运动,若存在某个位置,使得 $PM + PN = PS$,则称点 P 是关于点 M,N,S 的“麓山幸运点”,请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在,请求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在,请说明理由.
解: 存在.
解方程 $ 2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4 $，得 $ x = 6 $，
所以点 $ S $ 在数轴上表示的数为 6.
设点 $ P $ 表示的数为 $ y $，
因为 $ PM + PN = PS $，所以 $ |y + 1| + |y - 3| = |y - 6| $，
当 $ y ＜ -1 $ 时，方程可化为 $ - y - 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = -4 $；
当 $ -1 \leq y ＜ 3 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = 2 $；
当 $ 3 \leq y ＜ 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = 6 - y $，解得 $ y = \frac{8}{3} $（舍去）；
当 $ y \geq 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = y - 6 $，解得 $ y = -4 $（舍去）.
所以在数轴上存在“麓山幸运点”，所对应的数为 -4 或 2.
4
,线段 MN 的中点表示的数是1
；(2)x 表示数轴上任意一个有理数,则 $|x + 1| + |x - 3|$ 有最小值是
4
,$|x + 1| - |x - 3|$ 有最大值是4
；(3) 点 S 在数轴上表示的数为 x,且 x 是方程 $2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4$ 的解. 动点 P 在数轴上运动,若存在某个位置,使得 $PM + PN = PS$,则称点 P 是关于点 M,N,S 的“麓山幸运点”,请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在,请求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在,请说明理由.
解: 存在.
解方程 $ 2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4 $，得 $ x = 6 $，
所以点 $ S $ 在数轴上表示的数为 6.
设点 $ P $ 表示的数为 $ y $，
因为 $ PM + PN = PS $，所以 $ |y + 1| + |y - 3| = |y - 6| $，
当 $ y ＜ -1 $ 时，方程可化为 $ - y - 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = -4 $；
当 $ -1 \leq y ＜ 3 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = 2 $；
当 $ 3 \leq y ＜ 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = 6 - y $，解得 $ y = \frac{8}{3} $（舍去）；
当 $ y \geq 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = y - 6 $，解得 $ y = -4 $（舍去）.
所以在数轴上存在“麓山幸运点”，所对应的数为 -4 或 2.
答案：(1) 4 1
(2) 4 4
(3) 解: 存在.
解方程 $ 2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4 $，得 $ x = 6 $，
所以点 $ S $ 在数轴上表示的数为 6.
设点 $ P $ 表示的数为 $ y $，
因为 $ PM + PN = PS $，所以 $ |y + 1| + |y - 3| = |y - 6| $，
当 $ y ＜ -1 $ 时，方程可化为 $ - y - 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = -4 $；
当 $ -1 \leq y ＜ 3 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = 2 $；
当 $ 3 \leq y ＜ 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = 6 - y $，解得 $ y = \frac{8}{3} $（舍去）；
当 $ y \geq 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = y - 6 $，解得 $ y = -4 $（舍去）.
所以在数轴上存在“麓山幸运点”，所对应的数为 -4 或 2.
(2) 4 4
(3) 解: 存在.
解方程 $ 2x - 1 = \frac{7}{6}x + 4 $，得 $ x = 6 $，
所以点 $ S $ 在数轴上表示的数为 6.
设点 $ P $ 表示的数为 $ y $，
因为 $ PM + PN = PS $，所以 $ |y + 1| + |y - 3| = |y - 6| $，
当 $ y ＜ -1 $ 时，方程可化为 $ - y - 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = -4 $；
当 $ -1 \leq y ＜ 3 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + 3 - y = 6 - y $，解得 $ y = 2 $；
当 $ 3 \leq y ＜ 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = 6 - y $，解得 $ y = \frac{8}{3} $（舍去）；
当 $ y \geq 6 $ 时，方程可化为 $ y + 1 + y - 3 = y - 6 $，解得 $ y = -4 $（舍去）.
所以在数轴上存在“麓山幸运点”，所对应的数为 -4 或 2.
2. 如图,线段 $AB = 32cm$,P 为线段 AB 上一点(不与点 A,B 重合),M,N 两点分别从点 A,P 同时出发沿射线 AB 向右运动,点 M 的运动速度为 $4cm/s$,点 N 的运动速度为 $3cm/s$,设运动时间为 $ts(t ≠ 8)$.
(1) 若 $AP = 8cm$,
① 当 $t = 1$ 时,MN 的长为
② 点 M,N 在运动过程中,线段 BM,MN 之间是否存在某种确定的数量关系？判断并说明理由.
(2) 点 M,N 在运动过程中,若 $BM = 4cm$,$MN = 3cm$,直接写出 $\frac{AP}{PB}$ 的值.
(1) 若 $AP = 8cm$,
① 当 $t = 1$ 时,MN 的长为
$7 \, \text{cm}$
；② 点 M,N 在运动过程中,线段 BM,MN 之间是否存在某种确定的数量关系？判断并说明理由.
解: $ BM = 4MN $. 理由如下:
因为 $ AP = 8 \, \text{cm} $，$ AB = 32 \, \text{cm} $，所以 $ BP = 24 \, \text{cm} $.
当 $ t = 8 $ 时，点 $ M $，$ N $ 同时到达点 $ B $.
当 $ 0 ＜ t \leq 2 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (8 - 4t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = MP + NP = 8 - 4t + 3t = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ 2 ＜ t ＜ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (4t - 8) \, \text{cm} $.
所以 $ MN = PN - PM = 3t - (4t - 8) = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ t ＞ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ AN = (8 + 3t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = AM - AN = 4t - 8 - 3t = (t - 8) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 4t - 32 = 4(t - 8) \, \text{cm} $，所以 $ BM = 4MN $.
综上所述，$ BM = 4MN $.
因为 $ AP = 8 \, \text{cm} $，$ AB = 32 \, \text{cm} $，所以 $ BP = 24 \, \text{cm} $.
当 $ t = 8 $ 时，点 $ M $，$ N $ 同时到达点 $ B $.
当 $ 0 ＜ t \leq 2 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (8 - 4t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = MP + NP = 8 - 4t + 3t = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ 2 ＜ t ＜ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (4t - 8) \, \text{cm} $.
所以 $ MN = PN - PM = 3t - (4t - 8) = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ t ＞ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ AN = (8 + 3t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = AM - AN = 4t - 8 - 3t = (t - 8) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 4t - 32 = 4(t - 8) \, \text{cm} $，所以 $ BM = 4MN $.
综上所述，$ BM = 4MN $.
(2) 点 M,N 在运动过程中,若 $BM = 4cm$,$MN = 3cm$,直接写出 $\frac{AP}{PB}$ 的值.
$\frac{1}{7}$ 或 $\frac{5}{11}$ 或 $\frac{3}{13}$ 或 $\frac{3}{5}$
答案：(1) ① $ 7 \, \text{cm} $
② 解: $ BM = 4MN $. 理由如下:
因为 $ AP = 8 \, \text{cm} $，$ AB = 32 \, \text{cm} $，所以 $ BP = 24 \, \text{cm} $.
当 $ t = 8 $ 时，点 $ M $，$ N $ 同时到达点 $ B $.
当 $ 0 ＜ t \leq 2 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (8 - 4t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = MP + NP = 8 - 4t + 3t = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ 2 ＜ t ＜ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (4t - 8) \, \text{cm} $.
所以 $ MN = PN - PM = 3t - (4t - 8) = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ t ＞ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ AN = (8 + 3t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = AM - AN = 4t - 8 - 3t = (t - 8) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 4t - 32 = 4(t - 8) \, \text{cm} $，所以 $ BM = 4MN $.
综上所述，$ BM = 4MN $.
(2) 解: 当点 $ M $ 在点 $ B $ 的左边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的左边时，
$ AP = 32 - 4 - 3 - \frac{32 - 4}{4} × 3 = 4 $，
则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{4}{32 - 4} = \frac{1}{7} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的左边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的右边时，
$ AP = 32 - 4 + 3 - \frac{32 - 4}{4} × 3 = 10 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{10}{32 - 10} = \frac{5}{11} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的右边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的左边时，
$ AP = 32 + 4 - 3 - \frac{32 + 4}{4} × 3 = 6 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{6}{32 - 6} = \frac{3}{13} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的右边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的右边时，
$ AP = 32 + 4 + 3 - \frac{32 + 4}{4} × 3 = 12 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{12}{32 - 12} = \frac{3}{5} $.
故 $ \frac{AP}{PB} $ 的值为 $ \frac{1}{7} $ 或 $ \frac{5}{11} $ 或 $ \frac{3}{13} $ 或 $ \frac{3}{5} $.
② 解: $ BM = 4MN $. 理由如下:
因为 $ AP = 8 \, \text{cm} $，$ AB = 32 \, \text{cm} $，所以 $ BP = 24 \, \text{cm} $.
当 $ t = 8 $ 时，点 $ M $，$ N $ 同时到达点 $ B $.
当 $ 0 ＜ t \leq 2 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (8 - 4t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = MP + NP = 8 - 4t + 3t = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ 2 ＜ t ＜ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ MP = (4t - 8) \, \text{cm} $.
所以 $ MN = PN - PM = 3t - (4t - 8) = (8 - t) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 32 - 4t = 4(8 - t) \, \text{cm} $，
所以 $ BM = 4MN $.
当 $ t ＞ 8 $ 时，$ AM = 4t \, \text{cm} $，$ PN = 3t \, \text{cm} $，$ AN = (8 + 3t) \, \text{cm} $，
所以 $ MN = AM - AN = 4t - 8 - 3t = (t - 8) \, \text{cm} $.
因为 $ BM = 4t - 32 = 4(t - 8) \, \text{cm} $，所以 $ BM = 4MN $.
综上所述，$ BM = 4MN $.
(2) 解: 当点 $ M $ 在点 $ B $ 的左边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的左边时，
$ AP = 32 - 4 - 3 - \frac{32 - 4}{4} × 3 = 4 $，
则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{4}{32 - 4} = \frac{1}{7} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的左边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的右边时，
$ AP = 32 - 4 + 3 - \frac{32 - 4}{4} × 3 = 10 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{10}{32 - 10} = \frac{5}{11} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的右边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的左边时，
$ AP = 32 + 4 - 3 - \frac{32 + 4}{4} × 3 = 6 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{6}{32 - 6} = \frac{3}{13} $；
当点 $ M $ 在点 $ B $ 的右边，点 $ N $ 在点 $ M $ 的右边时，
$ AP = 32 + 4 + 3 - \frac{32 + 4}{4} × 3 = 12 $，则 $ \frac{AP}{PB} = \frac{12}{32 - 12} = \frac{3}{5} $.
故 $ \frac{AP}{PB} $ 的值为 $ \frac{1}{7} $ 或 $ \frac{5}{11} $ 或 $ \frac{3}{13} $ 或 $ \frac{3}{5} $.