解：A选项，数字与字母相乘时，“×”应省略，正确书写为$2×\frac{1}{2}a = a$，原书写不规范；
B选项，数字应写在字母前面，正确书写为$5mn$，原书写不规范；
C选项，$\frac{2}{3}a^{2}b$符合代数式书写规范；
D选项，带单位的代数式若为和或差的形式，应加括号，正确书写为$(x + 1)$元，原书写不规范。
答案：C

代数式 $a^{2}+b^{2}$ 中，$a^2$ 表示 $a$ 的平方，$b^2$ 表示 $b$ 的平方，“+”表示和。所以其意义是 $a$ 的平方与 $b$ 的平方的和。
D

“m的2倍”表示为$2m$，“n的平方”表示为$n^2$，它们的差为$2m - n^2$。
答案：C

代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独的一个数或者一个字母也称为代数式。
在给出的式子中：
$\frac{2}{3}a + b$ 是代数式；
$S = \frac{1}{2}ab$ 是等式，不是代数式；
$5$ 是代数式；
$m$ 是代数式；
$8 + y$ 是代数式；
$m + 3 = 2$ 是等式，不是代数式；
$\frac{2}{3}＜\frac{5}{7}$ 是不等式，不是代数式。
综上，代数式有$\frac{2}{3}a + b$，$5$，$m$，$8 + y$，共 4 个。
4

解：设窗框的高是 $ h $ m。
由图可知，窗框由3条宽和2条高组成，木条总长为7m，
则 $ 3x + 2h = 7 $。
解得 $ h = \frac{7 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2} $。
$-\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$