1. 如果两个角的度数之和等于
$90^{\circ}$
,那么这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角
.答案：$90^{\circ}$ 余角
2. 如果两个角的度数之和等于
$180^{\circ}$
,那么这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角
.答案：$180^{\circ}$ 补角
3. 同角(等角)的余角
随堂小练
相等
,同角(等角)的补角相等
.随堂小练
答案：相等 相等
1. (2024·吴江区二模)若$∠1 = 43^{\circ}$,则$∠1$的余角是 (
A.$43^{\circ}$
B.$47^{\circ}$
C.$57^{\circ}$
D.$137^{\circ}$
B
)A.$43^{\circ}$
B.$47^{\circ}$
C.$57^{\circ}$
D.$137^{\circ}$
答案：B
解析：
解：因为互为余角的两个角的和为$90^{\circ}$，所以$∠1$的余角为$90^{\circ} - ∠1$。
已知$∠1 = 43^{\circ}$，则$∠1$的余角为$90^{\circ} - 43^{\circ} = 47^{\circ}$。
答案：B
已知$∠1 = 43^{\circ}$，则$∠1$的余角为$90^{\circ} - 43^{\circ} = 47^{\circ}$。
答案：B
2. (2024·太仓月考)如图,点$O在直线AB$上,$∠COB = ∠EOD = 90^{\circ}$,下列说法错误的是 (
A.$∠1 = ∠2$
B.$∠AOE与∠2$互余
C.$∠AOD与∠1$互补
D.$∠AOD与∠COD$互补
D
)A.$∠1 = ∠2$
B.$∠AOE与∠2$互余
C.$∠AOD与∠1$互补
D.$∠AOD与∠COD$互补
答案：D
解析：
∵点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°
∴∠AOC=180°-∠COB=90°，∠1+∠COD=90°，∠2+∠COD=90°
∴∠1=∠2（A正确）
∵∠AOE+∠1=∠AOC=90°
∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余（B正确）
∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，∠1=90°-∠COD
∴∠AOD+∠1=90°+∠COD+90°-∠COD=180°，即∠AOD与∠1互补（C正确）
∵∠AOD=90°+∠COD
∴∠AOD+∠COD=90°+2∠COD，不一定等于180°（D错误）
答案：D
∴∠AOC=180°-∠COB=90°，∠1+∠COD=90°，∠2+∠COD=90°
∴∠1=∠2（A正确）
∵∠AOE+∠1=∠AOC=90°
∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余（B正确）
∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，∠1=90°-∠COD
∴∠AOD+∠1=90°+∠COD+90°-∠COD=180°，即∠AOD与∠1互补（C正确）
∵∠AOD=90°+∠COD
∴∠AOD+∠COD=90°+2∠COD，不一定等于180°（D错误）
答案：D
3. 若$∠α与∠β$互为补角,则下列式子成立的是 (
A.$∠α - ∠β = 180^{\circ}$
B.$∠α + ∠β = 90^{\circ}$
C.$∠α - ∠β = 90^{\circ}$
D.$∠α + ∠β = 180^{\circ}$
D
)A.$∠α - ∠β = 180^{\circ}$
B.$∠α + ∠β = 90^{\circ}$
C.$∠α - ∠β = 90^{\circ}$
D.$∠α + ∠β = 180^{\circ}$
答案：D
解析：
解：因为∠α与∠β互为补角，根据补角的定义，互为补角的两个角的和等于180°，所以∠α + ∠β = 180°。
D
D
4. 若$∠AOB + ∠BOC = 90^{\circ}$,$∠BOC与∠COD$互余,则$∠AOB与∠COD$的关系是 (
A.互余
B.互补
C.相等
D.不能确定
C
)A.互余
B.互补
C.相等
D.不能确定
答案：C
解析：
解：
∵∠AOB + ∠BOC = 90°，
∴∠AOB = 90° - ∠BOC。
∵∠BOC与∠COD互余，
∴∠BOC + ∠COD = 90°，
∴∠COD = 90° - ∠BOC。
∴∠AOB = ∠COD。
答案：C
∵∠AOB + ∠BOC = 90°，
∴∠AOB = 90° - ∠BOC。
∵∠BOC与∠COD互余，
∴∠BOC + ∠COD = 90°，
∴∠COD = 90° - ∠BOC。
∴∠AOB = ∠COD。
答案：C
5. $∠1$,$∠2都是∠3$的补角,根据
同角的补角相等
得$∠1 = ∠2$.答案：同角的补角相等
6. 如图,点$O在直线AB$上,$OD$,$OE分别平分∠BOC和∠AOC$,则图中互余的角共有
4
对.答案：4
解析：
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC+∠BOC=180°．
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=1/2∠AOC，∠COD=∠BOD=1/2∠BOC．
∴∠COE+∠COD=1/2(∠AOC+∠BOC)=90°，即∠EOD=90°．
∴互余的角有：
∠COE与∠COD，∠COE与∠BOD，∠AOE与∠COD，∠AOE与∠BOD，共4对．
4
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC+∠BOC=180°．
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=1/2∠AOC，∠COD=∠BOD=1/2∠BOC．
∴∠COE+∠COD=1/2(∠AOC+∠BOC)=90°，即∠EOD=90°．
∴互余的角有：
∠COE与∠COD，∠COE与∠BOD，∠AOE与∠COD，∠AOE与∠BOD，共4对．
4
7. 如图,点$O在直线AB$上,$∠AOD = ∠BOD = ∠EOC = 90^{\circ}$,$∠BOC:∠AOE = 3:1$.
(1)求$∠COD$的度数；
(2)图中有哪几对角互为补角?
(1)求$∠COD$的度数；
(2)图中有哪几对角互为补角?
答案：解：(1)因为$\angle AOD=\angle BOD=\angle EOC=90^{\circ}$，所以$\angle BOC+\angle AOE=90^{\circ}$。因为$\angle BOC:\angle AOE=3:1$，所以$\angle BOC=\frac{3}{4}×90^{\circ}=67.5^{\circ}$，所以$\angle COD=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。(2)互补的角有：$\angle COB$与$\angle COA$，$\angle AOE$与$\angle EOB$，$\angle AOD$与$\angle BOD$，$\angle AOD$与$\angle EOC$，$\angle BOD$与$\angle EOC$，$\angle DOE$与$\angle COA$，$\angle COD$与$\angle EOB$。
解析：
(1)解：因为点$O$在直线$AB$上，$\angle AOD = \angle BOD = 90^{\circ}$，$\angle EOC = 90^{\circ}$，所以$\angle AOE + \angle EOD + \angle DOC + \angle COB = 180^{\circ}$，又因为$\angle EOD + \angle DOC = \angle EOC = 90^{\circ}$，所以$\angle AOE + \angle COB = 90^{\circ}$。
因为$\angle BOC:\angle AOE = 3:1$，设$\angle AOE = x$，则$\angle BOC = 3x$，可得$x + 3x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，所以$\angle BOC = 3x = 67.5^{\circ}$。
因为$\angle BOD = 90^{\circ}$，所以$\angle COD = \angle BOD - \angle BOC = 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
(2)互补的角有：$\angle COB$与$\angle COA$，$\angle AOE$与$\angle EOB$，$\angle AOD$与$\angle BOD$，$\angle AOD$与$\angle EOC$，$\angle BOD$与$\angle EOC$，$\angle DOE$与$\angle COA$，$\angle COD$与$\angle EOB$。
因为$\angle BOC:\angle AOE = 3:1$，设$\angle AOE = x$，则$\angle BOC = 3x$，可得$x + 3x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，所以$\angle BOC = 3x = 67.5^{\circ}$。
因为$\angle BOD = 90^{\circ}$，所以$\angle COD = \angle BOD - \angle BOC = 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
(2)互补的角有：$\angle COB$与$\angle COA$，$\angle AOE$与$\angle EOB$，$\angle AOD$与$\angle BOD$，$\angle AOD$与$\angle EOC$，$\angle BOD$与$\angle EOC$，$\angle DOE$与$\angle COA$，$\angle COD$与$\angle EOB$。
8. 一个角的补角加上$10^{\circ}后等于这个角的余角的3$倍,求这个角.
答案：解：设这个角为$x^{\circ}$，则它的余角为$90^{\circ}-x^{\circ}$，补角为$180^{\circ}-x^{\circ}$，根据题意，得$180^{\circ}-x^{\circ}+10^{\circ}=3×(90^{\circ}-x^{\circ})$，解得$x=40$。答：这个角为$40^{\circ}$。
解析：
解：设这个角为$x^{\circ}$，则它的余角为$(90 - x)^{\circ}$，补角为$(180 - x)^{\circ}$。
根据题意，得$180 - x + 10 = 3(90 - x)$
解方程：
$190 - x = 270 - 3x$
$-x + 3x = 270 - 190$
$2x = 80$
$x = 40$
答：这个角为$40^{\circ}$。
根据题意，得$180 - x + 10 = 3(90 - x)$
解方程：
$190 - x = 270 - 3x$
$-x + 3x = 270 - 190$
$2x = 80$
$x = 40$
答：这个角为$40^{\circ}$。