如图2-2,半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O'.点O'所表示的是什么数？这个数是有理数吗？
答案：【解析】：
首先，我们知道圆的半径为1个单位长度。当圆从原点沿数轴向右滚动一周时，其滚动的距离等于圆的周长。
圆的周长公式为 $C = 2\pi r$，其中 $r$ 是圆的半径。
将 $r = 1$ 代入公式，得到圆的周长为 $2\pi × 1 = 2\pi$。
因此，当圆从原点滚动到点 $O'$ 时，点 $O'$ 所表示的数就是圆滚动的距离，即 $2\pi$。
接下来，我们需要判断 $2\pi$ 是否为有理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而 $\pi$ 是一个无理数，即不能表示为两个整数的比。
因此，$2\pi$ 也是无理数，因为它仍然包含 $\pi$ 这一无理数部分。
【答案】：
点 $O'$ 所表示的数是 $2\pi$，这个数是无理数。
首先，我们知道圆的半径为1个单位长度。当圆从原点沿数轴向右滚动一周时，其滚动的距离等于圆的周长。
圆的周长公式为 $C = 2\pi r$，其中 $r$ 是圆的半径。
将 $r = 1$ 代入公式，得到圆的周长为 $2\pi × 1 = 2\pi$。
因此，当圆从原点滚动到点 $O'$ 时，点 $O'$ 所表示的数就是圆滚动的距离，即 $2\pi$。
接下来，我们需要判断 $2\pi$ 是否为有理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而 $\pi$ 是一个无理数，即不能表示为两个整数的比。
因此，$2\pi$ 也是无理数，因为它仍然包含 $\pi$ 这一无理数部分。
【答案】：
点 $O'$ 所表示的数是 $2\pi$，这个数是无理数。
例1 下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？
$\sqrt{289}$,$\frac{1}{2}$,$\sqrt{5}$,$\frac{22}{7}$,0.2020020002…(每两个2之间0的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-27}$,$\frac{\pi}{3}$,$-0.\dot{8}\dot{9}$,$\sqrt[3]{9}$.
$\sqrt{289}$,$\frac{1}{2}$,$\sqrt{5}$,$\frac{22}{7}$,0.2020020002…(每两个2之间0的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-27}$,$\frac{\pi}{3}$,$-0.\dot{8}\dot{9}$,$\sqrt[3]{9}$.
答案：【解析】：
本题主要考察有理数、无理数和实数的定义及识别。
有理数：可以表示为两个整数的比的数，即分数形式。
无理数：不能表示为两个整数的比的数，例如某些平方根、立方根、π等。
实数：包括有理数和无理数的所有数。
根据这些定义，我们可以逐一判断给出的数：
$\sqrt{289}$：289的平方根是17，是整数，因此也是有理数。
$\frac{1}{2}$：是分数形式，因此是有理数。
$\sqrt{5}$：5的平方根不能表示为两个整数的比，因此是无理数。
$\frac{22}{7}$：是分数形式，因此是有理数。
$0.2020020002\ldots$(每两个2之间0的个数逐次增加)：这是一个无限不循环小数，因此是无理数。
$\sqrt[3]{-27}$：-27的立方根是-3，是整数，因此也是有理数。
$\frac{\pi}{3}$：π是一个无理数，因此$\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$-0.\dot{8}\dot{9}$：这是一个无限循环小数，因此是有理数。
$\sqrt[3]{9}$：9的立方根不能表示为两个整数的比，因此是无理数。
【答案】：
有理数：$\sqrt{289}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{7}$，$\sqrt[3]{-27}$，$-0.\dot{8}\dot{9}$。
无理数：$\sqrt{5}$，$0.2020020002\ldots$(每两个2之间0的个数逐次增加)，$\frac{\pi}{3}$，$\sqrt[3]{9}$。
实数：所有列出的数都是实数。
本题主要考察有理数、无理数和实数的定义及识别。
有理数：可以表示为两个整数的比的数，即分数形式。
无理数：不能表示为两个整数的比的数，例如某些平方根、立方根、π等。
实数：包括有理数和无理数的所有数。
根据这些定义，我们可以逐一判断给出的数：
$\sqrt{289}$：289的平方根是17，是整数，因此也是有理数。
$\frac{1}{2}$：是分数形式，因此是有理数。
$\sqrt{5}$：5的平方根不能表示为两个整数的比，因此是无理数。
$\frac{22}{7}$：是分数形式，因此是有理数。
$0.2020020002\ldots$(每两个2之间0的个数逐次增加)：这是一个无限不循环小数，因此是无理数。
$\sqrt[3]{-27}$：-27的立方根是-3，是整数，因此也是有理数。
$\frac{\pi}{3}$：π是一个无理数，因此$\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$-0.\dot{8}\dot{9}$：这是一个无限循环小数，因此是有理数。
$\sqrt[3]{9}$：9的立方根不能表示为两个整数的比，因此是无理数。
【答案】：
有理数：$\sqrt{289}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{7}$，$\sqrt[3]{-27}$，$-0.\dot{8}\dot{9}$。
无理数：$\sqrt{5}$，$0.2020020002\ldots$(每两个2之间0的个数逐次增加)，$\frac{\pi}{3}$，$\sqrt[3]{9}$。
实数：所有列出的数都是实数。
例2 判断$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与1的大小.
答案：【解析】：
本题要求我们判断两个数的大小，其中涉及到实数的运算和大小比较。由于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个无理数与有理数的混合表达式，我们可以通过估算或者利用不等式性质来判断其与1的大小关系。考虑到$\sqrt{5}$的值大约等于2.236，是一个大于2但小于3的数，因此$\sqrt{5}-1$会是一个大于1但小于2的数，再除以2，其结果应当仍然小于1。为了更严谨的证明，我们也可以利用不等式性质进行比较。
【答案】：
解：
首先，我们计算$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1$的值，
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1-2}{2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$
由于$\sqrt{5} ＜ 3$（因为$5 ＜ 9$，所以$\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$），
所以$\frac{\sqrt{5}-3}{2} ＜ 0$，
因此，$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
本题要求我们判断两个数的大小，其中涉及到实数的运算和大小比较。由于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个无理数与有理数的混合表达式，我们可以通过估算或者利用不等式性质来判断其与1的大小关系。考虑到$\sqrt{5}$的值大约等于2.236，是一个大于2但小于3的数，因此$\sqrt{5}-1$会是一个大于1但小于2的数，再除以2，其结果应当仍然小于1。为了更严谨的证明，我们也可以利用不等式性质进行比较。
【答案】：
解：
首先，我们计算$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1$的值，
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1-2}{2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$
由于$\sqrt{5} ＜ 3$（因为$5 ＜ 9$，所以$\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$），
所以$\frac{\sqrt{5}-3}{2} ＜ 0$，
因此，$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
1. 填空题：
(1)
(2)请写出4个无理数：
(1)
无限不循环小数
称为无理数.(2)请写出4个无理数：
$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\pi$，$1.010010001\cdots$（每两个1之间依次多一个0）
.答案：(1)无限不循环小数
(2)$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\pi$，$1.010010001\cdots$（每两个1之间依次多一个0）
(2)$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\pi$，$1.010010001\cdots$（每两个1之间依次多一个0）