答案：1. （1）证明：
因为$AC\perp BD$，$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$\angle ACD=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\triangle ACD$是等腰直角三角形，即$AC = CD$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = CD\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEC$。
所以$\angle BAC=\angle EDC$。
因为$\angle EDC+\angle DEC = 90^{\circ}$，$\angle DEC=\angle AEF$（对顶角相等）。
所以$\angle BAC+\angle AEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle AFE=180^{\circ}-(\angle BAC + \angle AEF)=90^{\circ}$，即$DF\perp AB$。
2. （2）证明：
因为$S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}$。
由（1）知$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEC$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEC}$，$AC = CD=b$，$BC = CE=a$，$AB = DE = c$。
$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}a^{2}$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}b^{2}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}c\cdot DF$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}c\cdot EF$，且$DF = DE + EF=c + EF$。
又$S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}$，$S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}c(DF - EF)=\frac{1}{2}c^{2}$。
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
综上，（1）得证$DF\perp AB$；（2）得证$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。