如图 3-4,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 3 cm,BC= 4 cm. 画一个△DEF,使 DF= 3 cm,EF= 4 cm,DE= 5 cm. △ABC 与△DEF 全等吗? △DEF 是直角三角形吗? 请说明理由.
答案：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
由勾股定理得AB²=AC²+BC²=3²+4²=25，
∴AB=5cm。
△ABC与△DEF不全等。
理由：△ABC中AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm；△DEF中DF=3cm，EF=4cm，DE=5cm。两三角形对应边不一定相等，故不全等。
△DEF是直角三角形。
理由：在△DEF中，DF=3cm，EF=4cm，DE=5cm，
∵DF²+EF²=3²+4²=25，DE²=5²=25，
∴DF²+EF²=DE²，
由勾股定理的逆定理得△DEF是直角三角形，且∠F=90°。
由勾股定理得AB²=AC²+BC²=3²+4²=25，
∴AB=5cm。
△ABC与△DEF不全等。
理由：△ABC中AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm；△DEF中DF=3cm，EF=4cm，DE=5cm。两三角形对应边不一定相等，故不全等。
△DEF是直角三角形。
理由：在△DEF中，DF=3cm，EF=4cm，DE=5cm，
∵DF²+EF²=3²+4²=25，DE²=5²=25，
∴DF²+EF²=DE²，
由勾股定理的逆定理得△DEF是直角三角形，且∠F=90°。
例1 如图3-5,在四边形ABCD中,AB= 20,AD= 15,CD= 7,BC= 24,∠A= 90°.求证:∠C= 90°.
答案：【解析】：
本题主要考查勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。我们可以先通过已知条件求出$BD$的长度，再分别在$\triangle ABD$和$\triangle BCD$中运用勾股定理及其逆定理来证明$\angle C = 90^{\circ}$。
1. 在$Rt\triangle ABD$中，已知$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$AD = 15$，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$，可求出$BD$的长度。
2. 计算出$BD$的长度后，再在$\triangle BCD$中，计算$CD^{2}+BC^{2}$和$BD^{2}$的值，比较它们是否相等，若相等，则根据勾股定理的逆定理可证明$\angle C = 90^{\circ}$。
【答案】：
证明：
连接$BD$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$AD = 15$，根据勾股定理可得：
$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225 = 625$，
所以$BD=\sqrt{625}=25$。
在$\triangle BCD$中，已知$CD = 7$，$BC = 24$，则$CD^{2}+BC^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576 = 625$，
而$BD^{2}=625$，所以$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}$。
综上，$\angle C = 90^{\circ}$得证。
本题主要考查勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。我们可以先通过已知条件求出$BD$的长度，再分别在$\triangle ABD$和$\triangle BCD$中运用勾股定理及其逆定理来证明$\angle C = 90^{\circ}$。
1. 在$Rt\triangle ABD$中，已知$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$AD = 15$，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$，可求出$BD$的长度。
2. 计算出$BD$的长度后，再在$\triangle BCD$中，计算$CD^{2}+BC^{2}$和$BD^{2}$的值，比较它们是否相等，若相等，则根据勾股定理的逆定理可证明$\angle C = 90^{\circ}$。
【答案】：
证明：
连接$BD$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$AD = 15$，根据勾股定理可得：
$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225 = 625$，
所以$BD=\sqrt{625}=25$。
在$\triangle BCD$中，已知$CD = 7$，$BC = 24$，则$CD^{2}+BC^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576 = 625$，
而$BD^{2}=625$，所以$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}$。
综上，$\angle C = 90^{\circ}$得证。
例2 一个三角形的三边比为1:√3:2,这个三角形是直角三角形吗? 请证明你的结论.
答案：【解析】：
本题主要考察勾股定理的逆定理，即如果三角形三边满足勾股定理，那么三角形是直角三角形。
首先，我们设三角形的三边分别为$a$，$\sqrt{3}a$，$2a$，其中$a ＞ 0$。
根据勾股定理的逆定理，如果$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2} = {(2a)}^{2}$，那么这个三角形就是直角三角形。
接下来，我们将进行具体的计算来验证这个等式是否成立。
【答案】：
证明：
设三角形的三边分别为$a$，$\sqrt{3}a$，$2a$，其中$a ＞ 0$，
我们有：
$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2}$
$= a^{2} + 3a^{2}$
$= 4a^{2}$
又因为${(2a)}^{2} = 4a^{2}$，
所以$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2} = {(2a)}^{2}$，
因此，这个三角形是直角三角形。
本题主要考察勾股定理的逆定理，即如果三角形三边满足勾股定理，那么三角形是直角三角形。
首先，我们设三角形的三边分别为$a$，$\sqrt{3}a$，$2a$，其中$a ＞ 0$。
根据勾股定理的逆定理，如果$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2} = {(2a)}^{2}$，那么这个三角形就是直角三角形。
接下来，我们将进行具体的计算来验证这个等式是否成立。
【答案】：
证明：
设三角形的三边分别为$a$，$\sqrt{3}a$，$2a$，其中$a ＞ 0$，
我们有：
$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2}$
$= a^{2} + 3a^{2}$
$= 4a^{2}$
又因为${(2a)}^{2} = 4a^{2}$，
所以$a^{2} + {(\sqrt{3}a)}^{2} = {(2a)}^{2}$，
因此，这个三角形是直角三角形。
1. 如果三角形的三边长a,b,c(a≤b≤c)满足
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
,那么这个三角形是直角三角形.答案：【解析】：
本题考查的是勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理表明，如果一个三角形的三边长$a, b, c$（其中$a \leq b \leq c$）满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，那么这个三角形一定是直角三角形。
【答案】：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
本题考查的是勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理表明，如果一个三角形的三边长$a, b, c$（其中$a \leq b \leq c$）满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，那么这个三角形一定是直角三角形。
【答案】：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$